Lógica Proposicional.

Presentación del tema: "Lógica Proposicional."— Transcripción de la presentación:

1 Lógica Proposicional

2 CONTENIDOS Proposiciones Simples Conectivos y proposiciones compuestas. Tablas de verdad Construcción de tablas de verdad para proposiciones compuestas Formas derivadas del condicional Simbolización

3 ¿Son proposiciones? Proposición
Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos. Ejemplos: La luna es cuadrada 7 es un número primo Las arañas son mamíferos ¿Son proposiciones? ¿Qué hora es? Por favor, cierre la puerta Qué linda mañana! X + 2 = 8 No son proposiciones, ya que no poseen valor de verdad

4 Proposición Las proposiciones se denotan por letras minúsculas Ejemplo: p: 2 es un número dígito q: 8 es par.

5 Negación Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se denota por: ~ p Ejemplo: p: Hoy es martes ~ p: Hoy no es martes ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero? ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?

6 A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación” p ~ p V F
Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación” Posibilidades para la proposición p p ~ p V F

7 Como sinónimos de no, se utilizan las siguientes expresiones:
Negación Como sinónimos de no, se utilizan las siguientes expresiones: No es cierto que …….. No es el caso que……… Es falso que………… No sucede que…………….

8 Proposiciones compuestas Conectivos
Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas. A éstas últimas se les conoce como proposiciones compuestas La Proposición Compuesta esta formada por dos o más proposiciones simples, unidas estas por conectivos lógicos.

9 Conectivos lógicos: Y se simboliza:  O Se simboliza: V Si… entonces … Se simboliza:  …sí y sólo si … se simboliza:

10 Conjunción Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por: p  q Ejemplos: p: Hoy es martes q: La luna es cuadrada r: mañana es miércoles p  q :Hoy es martes y la luna es cuadrada p  r :Hoy es martes y mañana es miércoles

11 Conjunción Para construir la tabla de p  q, debemos considerar las diferentes alternativas de valores de verdad para p y para q: ¿Cuáles son ? Ambas verdaderas una V y la otra F ambas falsas p q p  q V F

12 Además Pero Sin embargo Aunque También Aún A la vez No obstante
Conjunción Se toman como “sinónimos” de la conjunción: Además Pero Sin embargo Aunque También Aún A la vez No obstante

13 Conjunción: p ^ q Luís estudia ,además de trabajar Luís estudió pero no aprobó Luís canta, sin embargo no baila Luís jugó futbol aunque estaba lesionado Luís juega futbol , también José Luís salió, aún no llega Luís cocina a la vez que canta Luís viajará no obstante esté sin visa Luís canta , no baila.

14 Conjunción: p ^ q No siempre “y” denota una conjunción ……… Ejemplo: Silvia y Nelly son hermanas Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite establecer la relación entre los sujetos.

15 Disyunción Si p y q son proposiciones, se llama disyunción de p y q a la proposición compuesta “p o q” y se denota por: p  q p q p  q V F

16 Disyunción Seré cantante o futbolista p: Seré cantante
q: Seré futbolista Simbolización: p  q p q p  q V F

17 Condicional Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta “si p, entonces q” y se denota por: p  q Ejemplos: Si no llueve (entonces) iremos a la playa Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica

18 Condicional Veamos la tabla del condicional: p  q p q p  q V F Conviene pensar en una “promesa” Si no llueve (entonces) iremos a la playa

19 Condicional El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple. p q p  q V F

20 Condicional El condicional es muy importante en matemáticas, porque los Teoremas se expresan en forma condicional. Un Teorema será un condicional verdadero con hipótesis verdadera p q p  q V

21 Condicional Algunas expresiones del lenguaje que indican la presencia de un condicional (p → q), son las siguientes: p es condición suficiente para q Si p, q q si p Que p supone que q Cuando p, q q es condición necesaria para p En caso de que p entonces q q sólo si p

22 Condicional y Teoremas
En los Teoremas, al antecedente del condicional (p) se le llama Hipótesis y al consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusión Los Teoremas requieren de una demostración; es decir, partiendo de una hipótesis verdadera, hay que demostrar que la Conclusión es verdadera.

23 Bicondicional Veamos la tabla del condicional: p q p q p q V F Es verdadera cuando ambas proposiciones simples son verdaderas o son falsas.

24 Tablas de verdad Recordemos que el valor de certeza de una proposición compuesta depende de los valores de certeza de las proposiciones simples que la componen Para analizar los valores de certeza de una proposición compuesta, representamos todas las posibilidades de valores de verdad de las proposiciones simples, en un arreglo de tabla

25 Ejemplo con 2 proposiciones simples
Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición :(pq)(p~q) 4 filas de posibilidades p q V F ~q F V pq p~q V F (pq)(p~q) F

26 Ejemplo con 3 proposiciones simples
q r V F ¿Cuántas posibilidades tendremos? 8

27 Ejemplo con 3 proposiciones simples
Hacer la tabla de certeza para: (rp)  ~(qp) p q r V F rp qp ~(qp) V F (r  p)  ~(qp) F V

28 4 = 22 filas 8 = 23 filas 16= 24 filas 2n filas En resumen
Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen: 1 proposición simple… tendrá 2 filas 2 proposiciones simples 3 proposiciones simples 4 proposiciones simples ……razonando inductivamente…….. n proposiciones simples 4 = 22 filas 8 = 23 filas 16= 24 filas 2n filas

29 Partes de un condicional
p q antecedente Condición suficiente consecuente Condición necesaria

30 Formas derivadas del condicional
Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ p  ~q se llama contrario y lo expresaríamos: “ si no p, entonces no q” Directo: p q Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante Contrario: ~ p  ~q Si no repruebo el examen, entonces no me enojaré bastante

31 Formas derivadas del condicional
Dado el condicional directo: p q, el condicional q  p se llama recíproco y lo expresaríamos: “ si q, entonces p” Directo: p q Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante Recíproco: q  p Si me enojo bastante , entonces reprobaré el examen

32 Formas derivadas del condicional
Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ q  ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p” Directo: p q Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante Contrarrecíproco: ~ q  ~p Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el examen

33 Formas derivadas Directo Recíproco p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p Contrario
Contrarrecíproco recíprocos contrarios contrarrecíprocos

34 Hallar las formas derivadas del siguiente condicional:
Ejemplo Hallar las formas derivadas del siguiente condicional: Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ……………………………………. ¿V o F? Falso (contraejemplo: 2) Recíproco: Si un número es múltiplo de 4 entonces es par. …………………………………..¿V o F? Verdadero!

35 Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrario: ~ p  ~ q
Ejemplo Directo: p q Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrario: ~ p  ~ q Si un número no es par, entonces no es múltiplo de 4 Verdadero!

36 Si un número es par, entonces es múltiplo de 4.
Ejemplo Directo: p q Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrarrecíproco: ~ q  ~ p Si un número no es múltiplo de 4, entonces no es par Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es par (antecedente verdadero, consecuente falso)

37 Escribir las formas derivadas para: a) (r Ú ~q) ® p.
Ejercicios Escribir las formas derivadas para: a) (r Ú ~q) ® p. b)Si yo digo sí, ella dice no. Construye una proposición verdadera que incluya un condicional, una conjunción, una disyunción y una negación (no necesariamente en ese orden), que conste de las componentes p, q y r con todas ellas falsas.