Lógica Proposicional.

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1 Lógica Proposicional

2 Trabajo Práctico Nº 1 Lógica Proposicional
1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con r: “el restaurante es de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c)-La comida es buena y el servicio no. d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas. f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. Glosario Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar 2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial. a) p  q b) p  q c) q  p d)  (p  q) Glosario Ejercicios para Practicar Ejercicio Resuelto

3 Ejercicios para Practicar
3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales: a) (p  q)  p c) (q  p)  ( p  q) e) (p q) (r) b) p  (p  q) d) (r r) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [( p  q )  r]  s ii) r  (s  p) iii) (p  r)  (r   s) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) (p  q)  r ; r es V ii) (p  q)  ( p   q) ; q es V Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

4 Ejercicios para Practicar
6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) (p  q)  q si p  q es Falso b) p  (p  q) si p  q es Verdad c) [ (p  q)   q]  q si p es Verdad y q es Verdad Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 7) Simplificar las siguientes proposiciones: a)  ( p   q) b)  (p  q)  ( p   q) c)  (p  q) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes. i) q  r iii) p  (q  r) ii) (p  q)  r iv)  (p  q)  ( p   q) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

5 Ejercicios para Practicar
9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) ( p  q )  r iii) p  [ p  q ] ii) [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) iv) (p  r)  (r  p) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?. Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar

6 p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes
1 a b 1 c d PROPOSICION es una expresión de la cual se puede decir que es verdadera o que es falsa   “El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición verdadera “Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional” es una proposición falsa   pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera, ni falsa; entonces, ésta no es una proposición.   Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u . . . 1 e 1 f 2 a b 2 c d Entonces : p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes q : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional

7 el símbolo  ó - también puede usarse 
1 a b NEGACION 1 c d Si queremos negar una proposición debemos anteponer expresiones como No es cierto que . . .; No sucede que . . .; o insertar convenientemente en la expresión NO así, la proposición “No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes” 1 e 1 f 2 a b 2 c d Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición, el símbolo  ó también puede usarse   p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes  p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes

8 disyunción excluyente
1 a b CONECTORES LOGICOS  Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los conectores lógicos; ellos son: 1 c d 1 e 1 f  conjunción 2 a b 2 c d  disyunción incluyente  disyunción excluyente  implicación  doble implicación Mediante el uso de los conectores y símbolos sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves), podemos vincular dos o mas proposiciones entre sí

9 p  q p  q p  q p  q Dadas las proposiciones :
P : El jueves es el examen q : El viernes viajo 1 a b 1 c d 1 e 1 f Podemos escribir las proposiciones compuestas : 2 a b 2 c d p  q “El jueves es el examen y el viernes viajo” p  q “El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas” p  q “El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas” “El jueves es el examen implica que el viernes viajo” o “Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo” p  q “El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo p  q

10 1) a) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas” Las proposiciones involucradas son p : La comida es buena q : el servicio es bueno Proposición están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que pueden suceder ambas cosas Negación Operaciones el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE (  ) Ejemplos La expresión simbólica es : p  q 1 b) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas” Las proposiciones involucradas son p : La comida es buena q : el servicio es bueno están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que no pueden suceder ambas cosas corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE (  ) p  q o p  q La expresión simbólica es : 1 c-d 1e 1f

11 1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“ Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena q : el servicio es bueno pero la proposición “el servicio es bueno” está negada  q Proposición Negación p y  q están vinculadas con el operador y Operaciones el operador que corresponde ahora es CONJUNCION (  ) Ejemplos La expresión simbólica es : p   q 1 d) En la expresión : No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas” Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena r : El restaurante es de tres estrellas“ No es negación pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresión en ella, el “como que” sugiere una conjunción ( p  r ) La expresión simbólica es :  (p  r) 1e 1f

12 p  q r ( p  q )  r La forma es :
1 e) En la expresión : Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas. Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas Proposición Negación Operaciones El Si entonces nos hace pensar en la implicación Ejemplos donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera llamada antecedente y la otra llamada consecuente La forma es : Si (antecedente) entonces (consecuente) vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación. p  q El antecedente es : Si (tanto la comida como el servicio son buenos) El consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas) r ( p  q )  r La expresión simbólica es : 1f

13  [ r  ( p  q) ] Aparecen aquí tres operaciones
1 f) En la expresión : No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas Proposición Negación Aparecen aquí tres operaciones Operaciones la primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúa Ejemplos se distingue también una implicación, aunque no aparezca aquí el clásico “si entonces “ sino “si siempre significa “ detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación el antecedente es la proposición r : el restaurante es de tres estrellas el consecuente es la conjunción p  q : la comida es buena y el servicio es bueno  [ r  ( p  q) ] La expresión simbólica es :

14 “el clima es agradable y vamos de día de campo”
2 a) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo” es la conjunción de las proposiciones p con q La proposición compuesta p  q Proposición que en el lenguaje coloquial se expresa : Negación Operaciones “el clima es agradable  y vamos de día de campo” Ejemplos 2 b) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo” es la doble implicación de las proposiciones p con q La proposición compuesta p  q que en el lenguaje coloquial se expresa : “el clima es agradable  si y solo si vamos de día de campo” 2 c-d

15 “ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable”
2 c) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo” es la implicación q implica p La proposición compuesta q  p Proposición que en el lenguaje coloquial se expresa : Negación Operaciones “ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable” Ejemplos 2 d) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable”  q : “vamos de día de campo” es la negación de la doble implicación de las proposiciones p con q La proposición compuesta (p  q) que en el lenguaje coloquial se expresa : “No es cierto que el clima es agradable  si y solo si vamos de día de campo”

16 3 a-b Tablas de Verdad 3 c-d 3 e La primera operación que vamos a tratar es la negación p  p 4 5 i 5 ii Si p es verdad ,  p es falso V F 6 i-ii 6 iii F V Si p es falso ,  p es verdad La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve : p q p  q Verdadera si ambas proposiciones son verdaderas V V V V F F Falsa si alguna o ambas proposiciones son falsas F V F F F F 3–4-5 6

17 La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve
verdadera a si alguna o ambas proposiciones son verdaderas p q p  q V V V 3 a-b 3 c-d 3 e V F V 4 5 i 5 ii falsa si ambas proposiciones son falsas F V V 6 i-ii 6 iii F F F La tabla de verdad de la disyunción excluyente de proposiciones se resuelve falsa si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad p q p  q V V F V F V verdadera si las proposiciones tienen valores de verdad diferentes F V V F F F 3–4-5 6

18 La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve
verdadera si ambas proposiciones son verdaderas p q p  q V V V falsa únicamente con antecedente (p) verdadero y consecuente (q) falso V F F 3 a-b 3 c-d 3 e F V V 4 5 i 5 ii si el antecedente es falso, no importa el consecuente, la implicación es verdadera F F V 6 i-ii 6 iii los términos antecedente – consecuente se usan exclusivamente en ésta operación La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve : verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad p q p  q V V V V F F falsa las proposiciones tienen valor de verdad diferente F V F F F V 3–4-5 6

19 3 a-b 3 c-d 3 e 4 Las posibles combinaciones de valores de verdad entre dos proposiciones siempre se agotan en cuatro alternativas ; en caso que estén involucradas mas de dos proposiciones en una operación lógica, para averiguar la cantidad de alternativas posibles, usaremos la expresión : 2n donde n es la cantidad de proposiciones. 5 i 5 ii 6 i-ii 6 iii p q r resultado V F Si tengo que operar las proposiciones p ; q y r, las combinaciones posibles serán: 23 = 8 3–4-5 6

20 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
3 a) Para hacer la tabla de verdad de ( p  q )  p debemos resolver primero p  q p q p  q (p q)  p V V V V V F V V considerando la columna p  q obtenida como antecedente y la de q como consecuente, resolvemos la implicación Negación - Conjunción F V V F Disyunción Disyunción Excluyente F F F V Implicación Doble Implicación 3 b) Para hacer la tabla de verdad de p  ( p  q ) debemos resolver primero p  q p q p  q p  (p q) V V V V V F V V y con la columna obtenida buscar el resultado final. F V V F F F F V 3 c-d 3 e

21 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
3 c) para resolver (q  p)  ( p  q) debemos resolver por separado las implicaciones (q  p) y ( p  q) ; y luego buscar el resultado final hallando una implicación entre esos dos resultados parciales p q q  p p  q (q  p)  (p  q) Negación - Conjunción V V V V V Disyunción Disyunción Excluyente V F V F F F V F V V Implicación Doble Implicación F F V V V 3 d) Para resolver  ( r  r ) debemos resolver primero ( r  r ) ; cuando r (antecedente) es verdad, r (consecuente) también es verdad, idéntica situación cuando r es falso. r r  r ( r  r ) V V V F F F V F y luego negar ( r  r ) 3 e

22 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
3 e) En ( p  q )  (  r ) aparecen involucradas tres proposiciones,la tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de valores de verdad entre las tres proposiciones. También  r p q r  r p  q ( p  q )  (  r ) Negación - Conjunción V V V V V F V Disyunción Disyunción Excluyente V V F V V Implicación Doble Implicación V F V F F V F F F V F V V F F F V F F V F F V F F F F F F V Luego se resuelve ( p  q ) y finalmente ( p  q )  (  r )

23 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de verdad solamente para los valores asignados a las proposiciones i) [(p  q)  r]  s se resuelve: p q r s p  q (p  q)  r [(p  q)  r]  s Negación - Conjunción Disyunción Disyunción Excluyente V F F V V V V Implicación Doble Implicación ii) r  (s  p) se resuelve: p r s s  p r  (s  p) V F V V V iii) (p  r)  (r   s) se resuelve: p r s s p  r r   s (p  r)  (r  s) V F V F V F F

24 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
5 i) Para saber el valor de verdad de (p  q)  r ; cuando r es V Debemos considerar que la operación principal es una implicación, donde el consecuente ( r ) es verdad. Repasamos la tabla de verdad de la implicación: p q p  q V F Negación - Conjunción Vemos que la implicación es falsa solo cuando el consecuente es falso y el antecedente verdadero. Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación Si nuestro consecuente r es V, no importa si p  q es verdad o falso (p  q)  r es verdad Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad Analizamos solamente cuando r es verdad p q r p  q (p  q)  r V V V V F V ahora resolvemos como cualquier tabla de verdad V F V V V F 5 ii

25 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
5 ii) Para saber el valor de verdad de (p  q)  ( p   q)  cuando q es V Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación, donde las expresiones involucradas son (p  q) y ( p   q) Negación - Conjunción si q es V cualquier disyunción donde esté q, será verdad, luego (p  q) es V Disyunción Disyunción Excluyente al ser q “V” ;  q es F cualquier conjunción donde esté  q , será falso, Implicación Doble Implicación luego ( p   q) es F Las expresiones (p  q) y ( p   q) tienen diferentes valores de verdad luego : (p  q)  ( p   q)  es falso Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad Analizamos solamente cuando q es verdad p q p q p  q  p   q (p  q)  ( p   q) y p puede ser V V V F F F V verdad ó falso F F

26 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
6 i) p  q es Falso solamente cuando p es V y q es F En (p  q)  q ; si p es V (p  q) es V Negación - Conjunción nos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente falso Disyunción Disyunción Excluyente entonces (p  q)  q es falso Implicación Doble Implicación 6 ii) si p  q es Verdad puede pasar que: p sea V y q sea V p sea F y q sea V p sea F y q sea F Para hallar p  (p  q) confeccionamos tabla de verdad con las tres las alternativas posibles p q (p  q) p  (p  q) Los valores de verdad no son los mismos para todas las situaciones V V V F V F F V F F entonces no es posible determinar el valor de verdad con los datos proporcionados 6 iii

27 Disyunción Disyunción Excluyente Implicación Doble Implicación
6 iii) sabiendo que p es Verdad y q es Verdad para hallar [ (p  q)   q]  q hacemos tabla de verdad para esos valores Negación - Conjunción p q  q p  q V (p  q)   q V [ (p  q)   q]  q F Disyunción Disyunción Excluyente V V F Implicación Doble Implicación sabiendo que  q es verdad hallamos p  q luego hacemos (p  q)   q finalmente resolvemos [ (p  q)   q]  q Resulta [ (p  q)   q]  q Falso

28 Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a :
las Leyes de De Morgan “La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la conjunción de la negación de cada una de las proposiciones” 7 a-b 7 c 8 i-ii 8 iii Simbólicamente  ( p  q)   p   q 8 iv Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación p q  p  q p  q  (p  q)  p   q  ( p  q)   p   q V F Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes

29 Simbólicamente  ( p  q)   p   q
“La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones” Simbólicamente  ( p  q)   p   q 7 a-b 7 c 8 i-ii Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación 8 iii 8 iv p q  p  q p  q  (p  q)  p   q  (p  q)   p   q V F Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes

30 Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
7 a-b Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La implicación es equivalente a la negación del antecedente disyunción el consecuente” 7 c 8 i-ii 8 iii Simbólicamente p  q   p  q 8 iv Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación p q  p p  q  p  q (p  q)  p  q V F Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes

31 Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
“La doble implicación es equivalente a la conjunción de las implicaciones recíprocas” 7 a-b 7 c Simbólicamente p  q  (p  q)  (q  p) 8 i-ii 8 iii 8 iv Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación p q p  q q  p (p  q)  (q  p) p  q (p  q)  [(p  q)  (q  p)] V F Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes

32   ( p)   ( q)  p  q p  q  p   q  p   q
7 a)  ( p   q) La negación de una disyunción de proposiciones (en este caso las proposiciones de la disyunción son  p ;  q ) es equivalente a la conjunción de la negación de  p y de  q Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación Así el resultado final es p  q 7 b) (p  q)  ( p   q)  ( p   q)  ( p   q)   p   q la negación afecta solamente al primer paréntesis y el resto de la operación se escribe igual eliminamos una de las expresiones ( p   q) pues las dos son idénticas (propiedad de idempotencia) Así el resultado final es  p   q 7 c

33 [( p)   q]  [( q)   p]  ( p   q)  ( q   p)
7 c)  (p  q) tenemos la negación de una doble implicación recuerde que la doble implicación equivale a la conjunción de las implicaciones recíprocas   [ (p  q)  (q  p)]   (p  q)   (q  p) Ley de De Morgan la implicación equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente  [( p)  q]   [( q  p)] por De Morgan  [( p)   q]  [( q)   p]  ( p   q)  ( q   p)

34  ( )    [ (p  q)  r ]   [  (p  q)  r ] 
8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que queremos negar 8 i) La encerramos entre paréntesis,  (  q  r ) y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el paréntesis. viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente (leyes de De Morgan)  (  q  r )   (  q )   r  q   r 8 ii) Para negar  [ (p  q)  r ] y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el corchete La encerramos entre corchetes,  [ (p  q)  r ]   [  (p  q)  r ]   [  ( p  q ) ]   r  ( p  q )   r  p  q   r viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente 8 iii 8 iv

35 8 iii) escribimos la expresión que queremos negar
La encerramos entre corchetes,  [ p  (q  r) ] y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el corchete  [ p  (q  r ) ]   p   (q  r)   p   [ ( q )  r ]   p  [ ( q )   r ]   p  ( q   r ) viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente La implicación es la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente aplicamos ley de De Morgan 8 iv

36 8 iv) escribimos la expresión que queremos negar
 [ La encerramos entre corchetes,  ( p  q )  ( r   q ) ] y negamos todo lo que está comprendido en el corchete viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente La doble implicación es la conjunción de las implicaciones recíprocas La implicación es la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente  [  ( p  q)  ( r   q ) ] p  q   p  q   { [  ( p  q)  ( r   q ) ]  [ ( r   q )   ( p  q) ] }    { [ ( p  q)  (  r   q ) ]  [  (  r   q )   ( p  q ) ] }    [ ( p  q)  (  r   q ) ]   [  (  r   q )   ( p  q ) ]    [ ( p  q)   ( r  q ) ]   [ ( r  q )   ( p  q ) ]   [  ( p  q)  ( r  q ) ]  [  ( r  q)  ( p  q ) ]

37 Tautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen p q p  q p  p  q p  p  q 9 i 9 ii V F V F V F V Es tautología 9 iii-iv Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo componen, la proposición es una Contradicción. p q  p P  q  (p  q)  (p  q)   p V F V F F V V F F V F

38 en este caso ( p  q )  r p q r p  q ( p  q )  r V F V F V F
9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología, en este caso ( p  q )  r se realiza la tabla de verdad correspondiente p q r p  q ( p  q )  r V F V F V F si todos los valores de verdad de la columna de los resultados fueran verdaderos, la proposición sería tautología en la segunda fila aparece un valor de verdad falso esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) es una contingencia 9 ii 9 iii-iv

39 toda la columna de resultados es verdad
9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente p q r p  q q  r (p  q)  (q  r) p  r [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) V F V F V F V F V F V toda la columna de resultados es verdad [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) es tautología 9 iii-iv

40 p  [ p  q ] es contingencia (p  r)  (r  p) es contingencia
9 iii) si p  [ p  q ] es tautología también podemos resolver con tabla de verdad La doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (las dos falsas ó las dos verdad) La conjunción es falsa si una de las proposiciones es falsa (o ambas) p q p  q p  [ p  q ] V F V F V F V F esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) p  [ p  q ] es contingencia p r p  r r  p (p  r)  (r  p) 9 iv) (p  r)  (r  p) V F V F V F V F V F La implicación es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso esta proposición tiene valores de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) (p  r)  (r  p) es contingencia

41 Contesta las preguntas solo con “si” o con “no” y solo una pregunta
10) El viajero se encuentra frente a dos caminos B A SI ! SI ! desea ir a la Capital, y el único que puede indicarle el camino correcto es el Sr. Z (que parece no estar muy dispuesto) Contesta las preguntas solo con “si” o con “no” y solo una pregunta y si es mentiroso, miente siempre ¿ o siempre dice la verdad ? Es un buen comienzo diferenciar los caminos, al de la izquierda llamo camino A y al de la derecha camino B Supongamos que el camino A es el correcto si el viajero señala el camino A y pregunta: “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este es el camino que lleva a la Capital ?” piensa decir la verdad . . . Si es de los que dicen la verdad, como es el camino correcto responderá . . . SI SI

42 A B frente a la misma pregunta : Señalando el camino A
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Si el Sr. Z es de los que mienten siempre dirá . . . SI él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital , sino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá “no”. Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que luego, a la pregunta responderá “no” SI ! NO ! si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la Capital?” , él piensa mentir . . . SI Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI” Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de los que dicen la verdad, responde SI, cuando se señala el camino correcto

43 Señalando ahora el camino B (camino equivocado)
frente a la misma pregunta : “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” NO ! NO ! Si el Sr. Z es de los que dicen la verdad siempre dirá . . . NO porque si el viajero hiciera la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, piensa decir la verdad . . . NO Pero si el Sr. Z es mentiroso

44 frente a la misma pregunta : señalando el camino B
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” NO dirá . . . Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital , sino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y decir que va a responder (la verdad),que el camino no leva a la Capital”” NO ! SI ! si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la Capital?” , él piensa mentir . . . SI Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO” Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de los que dicen la verdad, responde NO si el camino señalado no es el correcto

45 Como la respuesta a la pregunta
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Como la respuesta a la pregunta Es la misma, independientemente que se trate del que dice la verdad . . . o del que miente . . . Así nuestro viajero, que pudo formular una sola pregunta que descifra el enigma, encontró el camino correcto Y hacia la Capital se encamina, eso sí, algo perturbado por el esfuerzo