ESTABILIDAD Estudiaremos técnicas para analizar la estabilidad de un sistema realimentado de lazo abierto G(s) Función de Transferencia lazo abierto: G(s) lazo cerrado: G(s)/(1 + G(s)) 1º Obtención de las raíces de 1 + G(s) = 0 (ec. Característica) 2º Criterio de Routh-Hurwitz 3º Criterio del reverso 4º Criterio de Nyquist G(s)

1.- Obtención de las raíces de 1 + G(s) = 0 Un sistema realimentado es estable si todas las raíces del denominador de su función de transferencia (1 + G(s), polinomio característico) tienen su parte real estrictamente negativa, es decir, están situadas en el semiplano estrictamente negativo. Por tanto, se trata de resolver la ecuación: 1 + G(s) = 0 (ecuación característica) y de analizar la situación de sus raíces. Este método no da idea de como se comporta el sistema en función de un parámetro. No es un buen método para análisis de estabilidad.

2.- Criterio de Routh-Hurwitz Este método permite determinar, a partir de los coeficientes del polinomio característico, si todas las raíces de la ecuación característica tienen su parte real estrictamente negativa. 1.- Dado un polinimio A(s)= 1.s + a s + ... + a s + a siendo a =1 2.- Se forma la matriz n x n: a a a a a 1 a a a a 0 a a a a 0 1 a a a 0 0 a a a ........ poniendo a 0 los términos de índice superior a n n-1 1 n-1 n 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1 3 5 7 2 4 6 1 3 5 n

3.- Todas las raíces de A(s) = 0 tienen la parte real estrictamente negativa si, y solamente si, todos los menores principales de esta matriz tienen su determinante estrictamente positivo. a a a a a 1 a a a a 0 a a a a 0 1 a a a 0 0 a a a 1 3 5 7 9 menor orden 1 2 4 menor orden 2 6 8 1 menor orden 3 3 5 7 menor orden 4 2 4 6 1 5 menor orden 5 3 Observaciones: 1) Es condición necesaria, pero no suficiente en general, que todos los coeficientes sean positivos. 2) Para n=1 y n=2 esta condición es necesaria y suficiente.

n = 1 a > 0 n= 2 a > 0 a .a > 0 a > 0 3) Para n=3, además de la condición necesaria debe cumplirse: a .a > a a > 0 a .a -a > 0 a .a .a - a .a = a .(a .a - a ) > 0 4) Para n>2, además de la condición necesaria, resultan n-2 condiciones 5) Para n>5 el análisis resulta complicado 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 3 3 3 1 2 3

3.- Criterio del reverso Un sistema realimentado es estable si al recorrer el gráfico de Nyquist del lazo abierto G(s) en el sentido de las pulsaciones o frecuencias crecientes, el punto (-1,0) se deja a la izquierda. Un sistema realimentado es estable si al recorrer el gráfico de Black del lazo abierto G(s) en el sentido de las pulsaciones o frecuencias crecientes, el punto (0 dB, 180º) se deja a la derecha. Im(G(jw)) Im(G(jw)) 2 2 Nyquist 1 1 w=0 w=0 w=O O w=O O -3 -2 -1 1 2 3 Re(G(jw)) -3 -2 -1 1 2 3 Re(G(jw)) -1 -1 -2 -2 estable inestable

Black   inestable estable |G(jw)| (dB) |G(jw)| (dB) 20 20 10 10   G(jw) G(jw) w=0 w=0 -180º -90º 0º 90º 180º -180º -90º 0º 90º 180º -10 -10 -20 -20 w=O O w=O O inestable estable En la mayoría de los casos prácticos se puede aplicar el criterio del reverso. Sin embargo, no siempre es correcto. Si hay integraciones o raíces de G(s) en el semiplano positivo puede fallar.

4.- Criterio de Nyquist El criterio del reverso es una simplificación del criterio de Nyquist. Se basa en el principio del argumento del cálculo complejo. Reglas de aplicación: 1.- Anotar P = nº polos de G(s) en semiplano estrictamente positivo 2.- Dibujar el diagrama de Nyquist de G(jw) desde w = -O a w = +O Para ello se dibuja el diagrama de Nyquist desde w = 0 a w = +O y se añade su simétrico respecto al eje real. 3.- Siendo h el nº de integraciones de G(s), se completa el gráfico con h semicírculos de gran módulo en sentido horario, desde w = -0 a w = +0 4.- Anotar R = nº de rodeos horarios al punto (-1,0) de la curva cerrada obtenida. A los rodeos antihorarios se les da signo negativo. 5.- Nº de raíces de 1 + G(s) en semiplano positivo: N = P + R O O O

Ejemplo: K G(s) = K, T ,T positivos 1 2 s.(1 + T s)(1 + T s) 1 2 Im(G(jw)) Im(G(jw)) 1 1 w=+O O Re(G(jw)) w=+O O Re(G(jw)) -1 1 -1 1 -1 -1 w=+0 w=+0

Ejemplo: K G(s) = K, T ,T positivos 1 2 s.(1 + T s)(1 + T s) 1 2 w=-0 Im(G(jw)) w=-0 Im(G(jw)) 1 1 w=+O O Re(G(jw)) w=+O O Re(G(jw)) -1 w=-O O 1 -1 w=-O O 1 -1 -1 w=+0 w=+0

Ejemplo: K G(s) = K, T ,T positivos 1 2 s.(1 + T s)(1 + T s) 1 2 w=-0 Im(G(jw)) w=-0 Im(G(jw)) 1 1 w=+O O Re(G(jw)) w=+O O Re(G(jw)) -1 w=-O O 1 -1 w=-O O 1 -1 -1 w=+0 w=+0

Ejemplo: K G(s) = K, T ,T positivos 1 2 s.(1 + T s)(1 + T s) 1 2 w=-0 Im(G(jw)) w=-0 Im(G(jw)) 1 1 w=+O O Re(G(jw)) w=+O O Re(G(jw)) -1 w=-O O 1 -1 w=-O O 1 -1 -1 w=+0 K < K P = 0 R= 0 w=+0 u N = P + R = 0 K > K P = 0 R = 2 u Estable Inestable N = P + R = 2

Mediante el criterio de Routh-Hurwitz: K + s.(1 + T s)(1 + T s) K 1 2 1+ G(s) = 1 + = s.(1 + T s)(1 + T s) s.(1 + T s)(1 + T s) 1 2 1 2 3 2 A(s) = K + s.(1 + T s)(1 + T s) = T .T .s + (T + T ).s + s + K = 1 2 1 2 1 2 3 T + T 2 1 K 1 2 = s + ( ).s + . s + T .T T .T T .T 1 2 1 2 1 2 Condiciones de estabilidad: K, T , T > 0 1 2 T +T 1 2 a .a - a > 0 K < = K 1 2 3 u T .T 1 2

Ejemplo: K.(1 + T .s) 1 G(s) = K, T ,T positivos 1 2 (1 - T s) 2 Im(G(jw)) 1 w=+O O -K.T /T 1 2 w=+0 Re(G(jw)) -1 1 w=-0 w=-O O K -1 K = T /T u 2 1 K < K P = 1 R= 0 K > K P = 1 R= -1 u u N = P + R = 1 N = P + R = 0 Inestable Estable

Márgenes de estabilidad Im(G(jw)) Black |G(jw)| (dB) Nyquist 1 w=0 20 G(s) G(s) 10  w w=+O O Re(G(jw)) G(jw) -270º Ø u m w -1 1/A 1 -180º -90º o 0º m -10 A (dB) m Ø m -20 w o -1 w u w=+0 w=O O

w = Pulsación de cruce w = -180º w = Pulsación de oscilación |G| = 1 A = Márgen de ganancia = Factor por el que hay que multiplicar el lazo abierto G(s) para que el sistema sea oscilante Ø = Márgen de fase = Angulo que hay que retrasar el lazo abierto G(s) para que el sistema sea oscilante w = Pulsación de cruce w = -180º w = Pulsación de oscilación |G| = 1 Valores típicos de diseño: A > 2 (6 dB) Ø = 45º a 60º m m o G u m m