INTEGRALES RACIONALES Tema 15.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

INTEGRACIÓN DE F. RACIONALES P(x) Las funciones del tipo ------ cuando P(x) y Q(x) son polinomios Q(X) se llaman funciones racionales. Si el grado de P(x) es superior al de Q(x), divideremos P(x) entre Q(x) P(X) h. x + k Quedando ...  --------- dx =  E(x) dx +  ------------ dx Q(x) Q(x) donde  E(x) dx se resuelve por Descomposición de sumas de funciones potenciales. La segunda integral se resolverá dependiendo de las raíces de Q(x). Si Q(x) es de 2º grado, el numerador es h. x + k Si Q(x) es de 3º grado, el numerador sería una expresión cuadrática @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. TIPOS DE F. RACIONALES 1.- LAS RAÍCES DE Q(X) SON REALES Y DISTINTAS. h.x + k A B Siempre podremos hacer: ------------------- = --------- + ---------- 2 x - x1 x - x2 a.x + bx + c siendo x1 y x2 las raíces de Q(x). Realizando la suma de fracciones, en la igualdad consiguiente se nos van los denominadores al ser iguales. Identificando términos semejantes en los numeradores hallaremos el valor de A y el de B. Y por último... h.x + k A B ∫ ------------- dx = ∫ -------- dx + ∫ ---------- dx = A. ln (x-x1) + B .ln (x-x2) + C 2 x - x1 x - x2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. 2.- LAS RAÍCES DE Q(X) SON REALES E IGUALES h.x + k A B Siempre podremos hacer: ---------------- = ------------ + ------------ 2 2 a.(x -x1) (x - x1) (x- x1) siendo x1 la única raíz de Q(x), raíz doble. Realizando la suma de fracciones, en la igualdad consiguiente se nos van los denominadores al ser iguales. Identificando términos semejantes en los numeradores hallaremos el valor de A y el de B. Y por último... h.x + k A B ∫ --------------- dx = ∫ ------------- dx + ∫ ------------ dx = 2 2 x - x1 a.(x - x1) (x - x1) - 2 B -1 = ∫ A (x - x1) dx + ∫ --------- dx = - A (x - x1) + B. ln (x - x1) + C x – x1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. 3.- LAS RAÍCES DE Q(X) NO SON REALES h.x + k h x + k Siempre podremos hacer: --------------------- = --------------------------- 2 2 2 a.x + bx + c a [ (x - m ) + n ] Calcularíamos el valor que tendría ‘m’ y ‘n’. Haríamos el cambio de variable: x = m + n.t  dx = n.dt resultando... h.x + k h.(m+n.t) + k A. t + B ∫ ------------------ dx = ∫ ---------------------. n dt = ∫-------------- dt 2 2 2 2 2 a.x + bx + c a.(n . t + n ) t + 1 que resolviendo la suma consiguiente de integrales inmediatas nos da la solución. (No olvidar que hemos hecho un cambio de variable) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJERCICIOS Tipo 1 1.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: 1 f(x) = ---------- x2 - 4 1 A B ---------- = --------- + ---------  1 = A.(x – 2)+ B.(x+2) x2 - 4 x + 2 x – 2 1 = Ax+Bx – 2A+2B  A + B = 0 ,, 1 = 2B – 2A A=-B  1 = 2B – 2(-B) ,, 1 = 4B  B = ¼  A = - ¼ 1 - 1/4 1/4 ∫ ---------- dx = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = - ¼ .ln(x+2) + ¼ .ln (x – 2) + C x2 - 4 x + 2 x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJERCICIOS Tipo 1 2.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x f(x) = --------------- x2 – 3x – 4 x A B --------------- = --------- + ---------  x = A.(x – 4)+ B.(x+1) x2 – 3x – 4 x + 1 x – 4 x = Ax+Bx – 4A+B  A + B = 1 ,, 0 = B – 4A B = 4A  A + 4A = 1  5.A = 1  A = 1/5  B = 4/5 x 1/5 4/5 ∫ ---------------- dx = ∫ --------- dx + ∫ --------- dx = 1/5.ln(x+1) + 4/5.ln (x – 4) + C x2– 3x – 4 x + 1 x – 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJERCICIOS Tipo 2 3.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x + 1 f(x) = --------------- x2 – 4x + 4 x + 1 A B ----------------- = ------------ + ---------  x + 1 = A + B.(x – 2) x2 – 4x + 4 (x – 2)2 x – 2 x + 1 = Bx + A – 2B  B = 1 ,, 1 = A – 2B B = 1  1 = A – 2  A = 3 x + 1 3 1 ∫ ---------------- dx = ∫ ----------- dx + ∫ --------- dx = – 3 (x – 2) – 1 + ln (x – 2) + C x2 – 4x + 4 (x – 2)2 x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJERCICIOS Tipo 2 4.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: 1 f(x) = -------------------- (x – 1)2 .(x – 2) 1 A B C --------------------- = ------------ + --------- + -----------  Igualando numeradores (x – 1)2 (x – 2) (x – 1)2 x – 1 x – 2 1 = A.(x – 2) + B.(x – 1).(x – 2) + C. (x – 1)2 1 = – 2A – B + C ,, 0 = A + B – 2C ,, 0 = C  C = 0  A = - B  1 = 2B – B  B = 1  A = – 1 1 – 1 1 ∫ -------------------- dx = ∫ ----------- dx + ∫ --------- dx = (x – 1) – 1 + ln (x – 1) + C (x – 1)2 (x – 2) (x – 1)2 x – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJERCICIOS Tipo 1 5.- Hallar la integral indefinida de la siguiente función: x f(x) = ---------------------- (x+1)(x+3)(x+5) x A B C ----------------------- = -------- + ------- + ---------  Igualando numeradores (x+1)(x+3)(x+5) x+1 x+3 x+5 x = A.(x +3).(x+5) + B.(x +1).(x + 5) + C. (x +1).(x+3) x = A.x2 + 8.A.x + 15.A + B.x2 + 6.B.x + 5.B + C.x2 + 4.C.x + 3.C 0 = A+B+C ,, 1 = 8A+6B+4C ,, 0 = 15A+5B+3C  Resolviendo por Gauss: 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 8 6 4 1  0 -2 -4 1  0 -2 -4 1 15 5 3 0 0 -10 -12 0 0 0 8 -5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJERCICIOS … Resolviendo por Gauss: 1 1 1 0 0 -2 -4 1  C = -5/8 = -0,625  B =[ 1 +4.(-5/8)] / (-2) = 0,75 0 0 8 -5  A + 0,75 – 0,625 = 0  A = – 0,125 x -0,125 0,75 -0,625 ∫ ---------------------- dx = ∫ -------- dx + ∫ ------- dx + ∫ ----------- dx  (x+1)(x+3)(x+5) x+1 x+3 x+5  I = – 0,125.ln(x+1) + 0,75.ln(x+3) – 0,625.ln(x+5) + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.