Fundamentos de Control Realimentado Clase 22 Versión 1 - 2014 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2014. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Empleo de Lugar de la Raíz en el Diseño Sucesivo de un SC Contenido: Método de Análisis Sucesivo Diseño de un SC Análisis de Sensitividad

Método de Diseño En el diseño de un Sistema de Control, a menudo se diseña un lazo interno (por ejemplo, con CD) y un lazo externo con un controlador más simple. Esto se denomina síntesis sucesiva. Típicamente cada lazo tiene una ganancia propia. Mediante LR se puede analizar la performance del sistema completo variando intermitente cada ganancia en forma apropiada, para colocar los polos del SCLC en lugares pre- determinados de acuerdo a especificaciones temporales. Si existen dos parámetros K1 y K2, existen dos funciones de transferencia L(s) distintas en la ecuación característica. Para los parámetros K1 y K2, vale la ecuación característica: 1+K1 L1(s; K2=cte)= 0 F(s;K1,K2) = 0 1+K2 L2(s; K1=cte)= 0

Ejemplo de variación de un LR con una cte. a tramos K1Gol(s) = K1(s+2) s (s+1) (s+K2) Sea el sistema: . Se desea ubicar 2 polos de Gcl s jw 6 -6 -4 -2 4 2 -20 -10 -8 -12 -14 -16 -18 1 K1,3 K1,5 K1,4 K1,2 Se deja K2 constante a tramos y se crean LR’s para K1 Se logra encontrar una constante K2 para la cual el LR de K1 cruza los polos a una ganancia K1 de lectura en el cruce K1,6 K1,1 K2=-12 K2=-10 K2=-5 K2=-3 K2 =-13 K2=-2 Pero también pueden variarse alternadamente los dos LR’s: uno para K1 y otro para K2 , llevándolos paulatinamente hacia los polos deseados del SC final

Diseño de un SC sucesivo 5 Diseño de un SC sucesivo Sea el siguiente lazo doble de control en un diseño sucesivo: 1/(s+1) Y(s) R(s) - 1/s KT KA 1 La ecuación característica es: = 0 s (s+1+KT) KA 1 + donde KA y KT son las ganancias del amplificador y del tacómetro (controladores externo e interno), respectivamente. El polinomio característico queda en función de dos parámetros: s2 + s + KA + KT s = 0

Diseño de un SC sucesivo De: s2 + s + KA + KT s = 0 se encuentran: s (s+1)+KT s 1 LA(s)= s (s+1)+KA s LT(s)= y Se definen los polos deseados. Se elige un valor KA0=4, y se comienza con LT -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 1 2 3 KA’' KA' KT’' -wd -s wd s1=-2.2+j1.95 s2=-2.2-j1.9 KT' KA = KA0+ KA’ KT KT = KT0+ KT’ Camino recorrido en la aproximación sucesiva

Método de LR sucesivo Se elige un punto en el plano s que representa un polo objetivo de LC hacia el cual se forzará iterativamente a una rama del LR a cruzarlo 1 Se construye el LR1 con L1(s) para K1 desde un valor inicial K1,inicial=0 y una K2 constante que llamamos K2,inicial>0 2 3 Se elige un punto sobre LR1 (es decir, un polo de LC) que esté lo más cerca del polo objetivo, se lee su valor K1’ y se lo acumula en K1a= K1’+K1,inicial Desde ese polo de lazo cerrado marcado, se empalma un LR2 con L2(s) pero con una variable K2’ que empieza de cero en 1+K2’ L2(s; K1a)= 0, y que satisface K2 = K2a + K2’ 4 5 Se marca otro punto en la nueva rama del LR2 de manera conveniente para ir acercándose paulatinamente al polo objetivo 6 Ese punto provee un valor de K2’ que se acumula en K2a= K2’+K2,inicial Se aplica LR1 con 1+K1’ L1(s; K2a)= 0 donde K1’ en [0,] es la nueva variable que satisface K1= K1a + K1’ 7 8 Y así reiteradamente desde alternando con LR1 y LR2 hasta que uno de los dos LR’s cruce primero el polo objetivo con valores finales: K1a y K2a 3

Analisis de Sensibilidad Otra aplicación del LR en 2 parámetros lo constituye el análisis de sensibilidad de una planta con parámetros muy lentamente variables o inciertos en ciertos intervalos. Sea el sistema de control correspondiente a una planta oscilante realimentada proporcionalmente: K Y(s) R(s) U(s) E(s) - 1 s 2+2zs+1 Se quiere analizar la sensitividad de la relación de amortiguación zlc de los polos de lazo cerrado en función del amortiguamiento de la planta z y la ganancia K cuando éstos varían dentro de ciertos intervalos. Hallar la zona de incertidumbre de los polos de la FTLC en el plano complejo. Establecer los Diagramas de la Raíz para el Sistema de Control dado en la Figura correspondientes a la ganancia K y al parámetro seda. A) Bosquejar los dos diagramas por separado lo más precisos que se pueda, sabiendo que existe un valor nominal para cada uno de ellos. Estos son K0=2 y seda0=0.5. B) Analizando los Diagramas de la Raíz, explicar si el sistema de control se convierte en inestable para algún valor en adelante. Nota: lc =F(Ko+K, z0+  ) En este ejemplo se parte de valores nominales: K0=1 y z0=0.5. Se asumen variaciones de |DK| 0.5 y |Dz|  0.2.

Analisis de Sensibilidad Solución: 1+KD(s)G(s) KD(s)G(s) Glc(s)= s2+2zs+1+K K = La FTLC es: Se obtienen dos funciones L(s) para cada parámetro: 1+ K LK (s) = 1+ K = 0 s2+2z s+1 1 1+KD(s)G(s) = 1+ = 0 s2+2zs+1 K 2s 1+ z Lz (s) = 1+ z = 0 s2+1+K Comenzamos con z en su valor nominal 0.5 y graficamos el LR para K desde cero hasta un valor mayor que el nominal más su cota superior Kmax=0.5

Análisis de sensitividad de polos de LC Con cada valor extremo de K construimos 2 LR de z La zona de incertidumbre se corresponde con los intervalos de K y z Comenzamos con el LR de K con z en su valor nominal de inicio z =0.3 y K=1.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 z =0.7 y K=1.5 z  [0.3,0.7] y K=1.5 Zona de incertidumbre z =0.3 y K=0.5 z  [0.3,0.7] y K=0.5 z =0.7 y K=0.5 K  [0.5, 1.5] y z=0.5 minzlc maxzlc Zona de incertidumbre

Análisis de Sensibilidad Resumen del método: Trazamos el LR de K para el valor nominal z=0.5 Ubicamos sobre el LR las ganancias extremas de K: K=0.5 y K=1.5 Trazamos el LR de z dos veces: uno para K=0.5 y el otro para K=1.5 Se generan dos regiones complejas conjugadas definidas por los vértices: z =0.3 y K=1.5 z =0.7 y K=1.5 z =0.3 y K=0.5 z =0.7 y K=0.5 Se dibujan 2 rayos por región de zcl =cte que inscriban a sendas regiones El seno de los ángulos de esos rayos determinan los peores casos y el rango de incertidumbre de zcl cuando los coeficientes del SC son Inciertos con cotas conocidas.