TEMA 3: Preliminares sobre Funciones reales Función real de variable real. Dominio y rango Operaciones con funciones Composición de funciones Funciones monótonas Funciones inyectivas y sobreyectivas Función inversa Gráfica Funciones elementales: polinomios, logaritmos, exponencial, valor absoluto, parte entera, … Funciones trigonométricas Ecuaciones

PRELIMINARES SOBRE FUNCIONES Definición : Función real de una variable real Sea D R; se define una función real de una variable real como una regla “f” entre D y R que asigna un único número real a cada x D. Se suele escribir f : D R  R / x  f(x) A cualquier elemento de D lo designaremos por la letra “x” y su imagen en  diremos que es f(x). Diremos que x es la variable independiente de la función f y que y=f(x) es la variable dependiente. El conjunto D sobre el que está definida la función f se llama dominio ó campo de existencia de la función f. D = { x /  f(x) } Rango, Recorrido ó Imagen de f es el subconjunto de  formado por todas las imágenes de los elementos de D. Rf = { f(x) / xD } * En Economía x es conocida como la variable exógena e y como variable endógena.

Representación cartesiana Entre conjuntos Representación cartesiana x f(x) D R f(x) x D

Algunas definiciones Una función se dice que está acotada en su dominio D si existe un k tal que f(x)  k xD. Una función se dice que es “par” en su dominio D si f(x) = f(-x) xD, por ejemplo la función f(x) = x2. Una función se dice que es “impar” en su dominio D si -f(x) = f(-x) xD, por ejemplo la función f(x) = x3. Operaciones con funciones: Dadas f, g : D R  R dos funciones reales de variable real, se define: (f±g)(x) = f(x) ± g(x), xD (f.g)(x) = f(x).g(x), xD (f/g)(x) = f(x)/g(x), xD tal que g(x)0 (αf)(x) = αf(x), xD, α R  

Función Monótona : Dada la función f : D R  R, diremos que f es monótona si x<y  f(x) f(y) x, yD (Monótona creciente) x<y  f(x) < f(y) x, yD (Mon. estrictamente creciente) x<y  f(x)  f(y) x, yD (Monótona decreciente) x<y  f(x) > f(y) x, yD (Mon. estrictamente decreciente) Gráfica de una función Sea f: D R  R, se llama gráfica de dicha función, al conjunto de puntos (x , y) de R2 verificando y = f(x) , para todo x D, y se denota: Gf = { ( x , y)  R2 / y = f(x) xD } Dado un punto P(x,y), (x,y) son las coordenadas de P. Se dice que (x,y) es un par ordenado.

Composición de funciones Sean las funciones f : A R  R y g : B R  R con f(A)B, se llama función compuesta de f y g , a la función g o f : A    tal que (g o f) (x) = g( f(x)) xA. Dadas f y g , como arriba, que f(A)  B , es la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función compuesta g o f , De aquí se deduce que dadas dos funciones f y g puede existir la función g o f y sin embargo no existir f o g, o viceversa . Función inyectiva: Dada la función f : D R  R , diremos que f es inyectiva si f(x)=f(y)  x=y, es decir, a elementos distintos en el conjunto origen corresponden imágenes distintas. Función sobreyectiva o suprayectiva: Dada la función f : D R  R , diremos que f es suprayectiva si yR  x  D tal que f(x)=y, es decir, todo elemento del conjunto final tiene al menos una antiimagen. Función inversa Sea la función f : D R  R inyectiva cuyo rango ó recorrido es Rf  R , se llama función inversa de f y se designa por f-1 a una función, si existe, de dominio Rf y rango D tal que xRf f-1(x) = y, si f(y) = x .