Un nuevo conjunto….. Los números complejos Unidad Nº 1: Un nuevo conjunto….. Los números complejos

Objetivos de Aprendizaje Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros, números racionales y números reales. Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades. Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver problemas combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas. Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento. Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.

Objetivos: Definir el conjunto de los números complejos. Simplificar potencias de i. Difinir y usar las operaciones con números complejos.

Resuelve las siguientes ecuaciones 𝑥 2 −100=0 𝑥 2 −8=0 𝑥 2 +1=0 𝑥 2 +9=0

Esquema de los conjuntos numéricos

Definición Un número de la forma a + bi donde a y b son números reales, se conoce como un número complejo . La a se conoce como la parte real y la b se conoce como la parte imaginaria del número complejo.

Definición Al conjunto de números se le conoce como el conjunto de números complejos.

Ejemplos de números complejos:

Calcule las siguientes raíces. Raíces pares de números negativos Calcule las siguientes raíces.

Definición Dos números complejos son iguales si las partes reales son iguales y las partes imaginarias también son iguales . Si a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

Ejemplo: Determine el valor de a y de b si

Número Imaginario. −𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 Llamamos unidad imaginaria a 𝑖 que es igual a −1 Cualquier número de la forma −𝑏 = 𝑏 𝑖, con 𝑏>0, se llama número imaginario. se pueden operar los números imaginarios como si fueran términos algebraicos. Para calcular cualquier potencia de 𝑖, con exponente natural, se tiene la siguiente regla: 1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0 𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 −1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 −𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 𝒊 𝒏

Cálculo de potencias de 𝑖

Procedimiento para simplificar potencias de i 1 Procedimiento para simplificar potencias de i 1. Divida el exponente por 4 y el resultado será i elevado al residuo de la división. 2. Para simplificar use; a. b. c. d.

Simplifica las potencias de i

Cálculo potencias de 𝑖

Resumiendo: Potencias de 𝑖 1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0 𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 −1 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 −𝑖 𝑠𝑖 𝑛:4 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 𝒊 𝒏

Ejemplos:

Definiciones de las Operaciones con Números Complejos

La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

Aclaración: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.

La división se hace multiplicando por el conjugado del denominador.

Ejercicios: Lleva a cabo la operación indicada.

Representación gráfica Para representar un número complejo o de la forma a + bi, se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.

Ejemplos:

Valor Absoluto |a + bi| = √(a² + b²) Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo. El valor absoluto o módulo de un número complejo a + bi está definido como: |a + bi| = √(a² + b²) Ejemplo: |-4+2i| = √(-4)²+(2)² = √20 = 2√5

Números Complejos Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros, números racionales y números reales.

Cálculo Mental ¿Qué es un número imaginario? ¿Cómo obtenemos el valor de 𝑖 249 ? ¿Cómo se operan los números imaginarios?

Números complejos Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Son de la forma 𝑍=𝑎+𝑏𝑖 Donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.

Clases de números complejos Complejo real: es aquel cuya parte imaginaria es nula. Complejo puro: es aquel cuya parte real es nula. Complejo nulo: es aquel cuya parte real y cuya parte imaginarias son nulas. Complejos iguales: son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias.

Representación de números complejos Forma gráfica: el complejo representa a un vector que parte del origen del sistema coordenado. Sus ejes son el eje real(Re) y el eje imaginario (Im).