Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 8 * 3º ESO GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 8.6 * 3º ESO TEOREMA DE LA ALTURA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEOREMA DE LA ALTURA En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Los triángulos ABC y ABH son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo B que comparten. Asimismo los triángulos ABC y AHC son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo C que comparten. A Por tanto los triángulos ABH y AHC son semejantes. Se cumplirá pues el Teorema de Tales, al ser semejantes los dos triángulos resaltados: h n ---- = -----  h2 = m.n m h h H m n C B a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEOREMA DE LA ALTURA Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo la altura corta a la hipotenusa en dos segmentos de 9 y 4 cm de longitud. Hallar la medida de la altura y de los catetos del triángulo rectángulo. Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  h2 = 4.9  h2 = 36  h=6 Por el Teorema de Pitágoras: c2 = m2 + h2  c2 = 42 + 62  c2 = 52 b2 = n2 + h2  b2 = 92 + 62  b2 = 117 A c b h m=4 n=9 B C a h = 6 cm c=√52=√4.13=2.√13 cm b=√117=√9.13=3.√13 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEOREMA DE LA ALTURA Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo la altura, de 3 cm, corta a la hipotenusa en dos segmentos, uno de los cuales mide 1 cm. Hallar el otro segmento y los catetos del triángulo rectángulo. Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  32 = 1.n  9 = n Por el Teorema de Pitágoras: c2 = m2 + h2  c2 = 12 + 32  c2 = 10 b2 = n2 + h2  b2 = 92 + 32  b2 = 90 A c b h=3 m=1 n B C a n = 9 cm c=√10 cm b=√90 =√9.10=3.√10 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 8.7 * 3º ESO TEOREMA DEL CATETO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEOREMA DEL CATETO En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. Si el cateto a considerar es “c”, entonces “m” es la proyección de “c” sobre la hipotenusa “a”. Si el cateto a considerar es “b”, entonces “n” es la proyección de “b” sobre la hipotenusa “a”. Por tanto podemos escribir la proporción: m c ---- = -----  c2 = a.m c a E igualmente: n b ---- = -----  b2 = a.n b a A b c h H m n C B a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEOREMA DEL CATETO Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo la proyección del cateto c sobre la hipotenusa, de 9 cm de longitud, mide 4 cm. Hallar los dos catetos y la altura. Por el Teorema del cateto: c2 = m.a  c2 = 4.9  c2 = 36  c=6 La otra proyección será: a=m+n  n = a – m = 9 – 4 = 5 cm b2 = n.a  b2 = 5.9  b2 = 45  b=3.√5 cm Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  h2 = 4.5  h2 = 20  h=2.√5 cm A c b h m=4 n B C a=9 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEOREMA DEL CATETO Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo el cateto b mide 6 cm y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa mide 4 cm. Hallar la hipotenusa, el otro cateto y la altura. Por el Teorema del cateto: b2 = n.a  62 = 4.a  36 = 4.a  a=9 La otra proyección será: a=m+n  m = a – n = 9 – 4 = 5 cm c2 = m.a  c2 = 5.9  c2 = 45  c=3.√5 cm Por el Teorema de la altura: h2 = m.n  h2 = 4.5  h2 = 20  h=2.√5 cm A c b=6 h m n=4 B C a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO