Ecuaciones.

Ecuaciones. ÍNDICE. Identidades y ecuaciones Ecuaciones equivalentes Ecuaciones polinómicas de primer grado Ecuaciones polinómicas de segundo grado Ecuaciones bicuadradas Ecuaciones polinómicas de grado superior Ecuaciones racionales Ecuaciones irracionales Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas

Identidades y ecuaciones. Una IDENTIDAD algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple para todos los valores de las variables. Una ECUACIÓN algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas que no se cumple para todos los valores de las variables. Una ecuación es COMPATIBLE si tiene solución (determinada si tiene un número finito de soluciones e indeterminada si tiene infinitas soluciones) y es INCOMPATIBLE si no tiene solución

Identidades y ecuaciones. Ejemplos: Es una identidad algebraica ya que desarrollando el producto La ecuación Es compatible indeterminada (tiene infinitas soluciones) La ecuación Es incompatible (no tiene soluciones) La ecuación Es compatible determinada (tiene solución x = 8)

Ecuaciones equivalentes. Dos ECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las mismas soluciones Ejemplo: Las ecuaciones Son equivalentes, ya que tienen las mismas soluciones ( x = - 2 y x = 2 ) Para resolver ecuaciones algebraicas (encontrar soluciones), utilizamos ECUACIONES EQUIVALENTES lo mas sencillas posibles, utilizando las siguientes reglas Si se suma o se resta a los dos miembros de una ecuación una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación un mismo número no nulo, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Ejemplo: Resolver la ecuación

Ecuaciones polinómicas de primer grado. Una ecuación de 1º grado es una ecuación algebraica cuyas expresiones son polinomios, y es equivalente a una ecuación de la forma: a . x + b = 0; a, y b números reales; a  0. Además, estas ecuaciones tiene solución real única x = - b / a Ejemplo: La ecuación Es una ecuación polinómica de primer grado, ya que es equivalente a la ecuación x = 1

Ecuaciones polinómicas de segundo grado. Una ecuación de 2º grado es aquella que aplicando las reglas de equivalencia se puede obtener una ecuación equivalente de la forma: ; a, b y c números reales; a  0. ECUACIÓN INCOMPLETA de 2º grado es aquella en la que b ó c es 0. Ejemplos:

Ecuaciones completa de segundo grado. Una ecuación de 2º grado completa es una ecuación algebraica que se reduce a la forma: ; a  0, b  0, c  0. Además, su solución real es de la forma:

Ejemplo de ecuación de segundo grado.

Factorización de ecuación de segundo grado. Una ecuación polinómica de 2º grado de la forma: ; a, b y c números reales; a  0. Cuyas soluciones son x 1 y x 2 , se puede factorizar como:

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones polinómicas bicuadradas. Una ecuación de 4º grado de la forma: ; a, b y c números reales; a  0. Se pueden resolver, como una ecuación de 2º grado haciendo x 2 = y. Una vez resuelta, se obtiene las raíces cuadradas de y. Es decir su solución real (si existe) es de la forma:

Ejemplo de ecuación bicuadrada.

Ecuaciones polinómicas de grado mayor a 2 Una ecuación de grado mayor que 2, de la forma: Si tiene soluciones enteras, se puede intentar utilizar la regla de Ruffini, hasta que nos de cociente un polinomio de 2º grado,. Ejemplo: Utilizando la Regla de Ruffini: como:

Ecuaciones racionales Para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas, tenemos que encontrar fracciones equivalentes en ambos miembros de la ecuación e igualado numeradores obtenemos una ecuación polinómica. Ejemplo:

Ecuaciones irracionales Para resolver ecuaciones con radicales, tenemos que elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación y obtenemos una ecuación polinómica. Hay que probar las soluciones obtenidas, pues no siempre la solución de la ecuación polinómica equivalente es solución de la ecuación irracional. Ejemplo:

Ecuaciones exponenciales Para resolver ecuaciones exponenciales, utilizamos la misma base en ambos lados de los miembros de la ecuación e igualamos los exponentes. Ejemplos:

Ecuaciones logarítmicas Para resolver ecuaciones logarítmicas, utilizamos la misma base en ambos lados de los miembros de la ecuación e igualamos los argumentos. Ejemplo: Si log es logaritmo neperiano

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