Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

La ecuación diferencial lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes Tipos de valores característicos de una ED Valores característicos reales distintos Valores característicos reales repetidos Valores característicos complejos

ED lineal homogénea con coeficientes constantes de orden n Polinomio diferencial: Ecuación característica:

El tipo de soluciones de una ED lineal homogénea de coeficientes constantes depende del tipo de raíces de su ecuación característica: Raíces reales distintas Raíces reales repetidas Raíces complejas

Raíces reales distintas

Ejercicio Resuelva el problema de valor inicial:

Raíces reales repetidas

Ejercicio Resuelva: (a) (b)

Raíces complejas

¿Cómo obtener una solución en números reales? Fórmula de Euler:

Raíces complejas

Raíces complejas repetidas

Ejercicio Resuelva: (a) (b)

El principio de Arquímedes y(t) < 0 y(t) y(t) H h W y(t) > 0

La ecuación diferencial que rige el problema anterior es g es el peso volumétrico del líquido g es la aceleración de la gravedad Encuentre la función que describe la oscilación de un cilindro (respecto de su posición de equilibrio) de radio 3 pulgadas y peso de 5p libras, flotando en una piscina con agua de peso volumétrico 62.5 lb/ft3. El cilindro se levanta una pulgada respecto de su posición de equilibrio y se empuja hacia abajo con una velocidad inicial de 4 in/s

Curva solución Posición de equilibrio

Tarea 1 2 3 4 Resuelva el P.V.I. Encuentre la solución general de Encuentre la ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes que tiene a l = 1/2 como valor característico triple (repetido) 3 Encuentre la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes que tiene a l = 1/2 como valor característico cuádruple (repetido) 4

Desafío Encuentre la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de cuarto orden que tiene las soluciones particulares + 0.5