Funciones Cálculo 1

Funciones Una función de un conjunto D a un conjunto I es una regla que asigna un único elemento f(x) de I a cada elemento de D. D I f El conjunto D = D(f) (“D de f”) es el dominio de la función f e I es el conjunto imagen. Las funciones se expresan mediante una fórmula: y = expresión O f(x) = expresión

Ejemplo de funciones El volumen de una esfera depende del radio de esta. V = 4 p r 3 / 3 O V(r) = 4 p r 3 / 3 Ejemplo: V(2) = 4 p 2 3 / 3 = 33.5 m3 Área y perímetro de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado x. perímetro = P = 3x Área = A = base x altura /2 =

Dominio e imagen El dominio de una función puede ser el conjunto de los números reales o puede estar restringido Función Dominio Imagen y = x2 (–, ) [0, ) [–1, 1] [0, 1] y = 1/x (–, 0) (0, ) y = x2/(x – 1) (–, 1) (1, )

Gráficas de funciones La gráfica de una función es la gráfica de la ecuación y = f(x). Ninguna recta vertical puede intersecar a la gráfica de una función más de una vez.

Gráficas de funciones (cont.) y = 2x y = x y = x/2

Operaciones con funciones Operaciones aritméticas Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Resta: (f - g)(x) = f (x) - g(x) Multiplicación: (f g)(x) = f (x) g(x) División: (f / g)(x) = f (x) / g(x) Multiplicación: (c f)(x) = c f (x) por constante

Ejemplo de operaciones Función fórmula dominio f f(x) = x2 (–, ) g g(x) = 1 + x [-1, ) 3f 3f(x) = 3x2 (–, ) f – g (f – g)(x) = x2 – 1 + x [-1, ) f g (fg)(x) = x21 + x [-1, ) f /g (f / g)(x) = x2 / 1 + x (-1, ) g /f (g / f)(x) = 1 + x / x2 [-1, 0)  (0, )

Gráficos de operaciones f g f – g f / g

Composición de funciones Definición Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo g”) es la función definida mediante (f ° g) (x) = f(g(x)) El dominio de f ° g consiste de todos los números y del dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f . f ° g f (g(x)) g f

Ejemplos de composición

Tarea #6 1 hallar el dominio y la imagen de las siguientes funciones 2 Cuales gráficas representan funciones c b a 3 Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal (f +g), (f g), (f / g), (f ° g), (g° f) 4. Dadas las siguientes funciones calcule:

Funciones pares e impares una función y = f(x) es par si f(-x) = f(x) para toda x del dominio de f. una función y = f(x) es impar si f(-x) = -f(x) para toda x del dominio de f. Funciones pares Funciones impares

Funciones a trozos En una función definida a trozos la función tiene diferentes fórmulas para diferentes intervalos del dominio, x, x  0 | x | = - x, x < 0 y = - x y =1 - x, x < 0 1 f(x) = x2, 0  x 1 y = x2 1, x > 1 1

Función máximo entero Se define como el mayor entero menor o igual que x o función piso entero (floor). Se denota por: 3 y = x 2 1 1 2 3 -1

Función mínimo entero Se define como el menor entero mayor o igual que x o función techo entero (floor). Se denota por: 3 y = x 2 1 1 2 3 -1