Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Principio de Inducción Matemática

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Supóngase que tenemos la sucesión de números naturales con la propiedad de que dichos números son de color rojo. 1,2,3,4,5,6,7... Supongamos que: El primer natural es de color rojo (1). Si todos los naturales que preceden al (n+1)-ésimo son de color rojo, entonces el (n+1)-ésimo número es de color rojo (2). Para demostrar que el número 8 es de color rojo, se observa que todos los que preceden al 7 y, por (2) el número 7 también es de color rojo. Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción Matemática

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Inducción Matemática Ejemplo: Denótese por Sn=1+2+3+4+...+n (1) Consideremos que se afirma que: Sn=n(n+1)/2 para n=1,2,... (2) Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber S1=1(2)/2=1 S2=2(3)/2=3 S3=3(4)/2=6

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Supóngase que cada ecuación verdadera está marcada con una “X”. Dado que la primera ecuación es verdadera, S1=1(2)/2 X S2=2(3)/2 X S3=3(4)/2 X Sn-1=(n-1)n/2 X Sn=n(n+1)/2 X Sn+1=(n+1)(n+2)/2 ?

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Supóngase ahora que puede demostrarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también lo está. Debe probarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima son verdaderas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también es verdadera. Sn+1=1+2+3+...+n+(n+1) =Sn+(n+1) =n(n+1)/2+(n+1) =(n+1)(n+2)/2

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que Paso Básico: S(1) es verdadera Paso Inductivo: si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.

Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica). 1+a1+a2+...+an=(an+1-1)/(a-1) (1) Paso Básico: Se obtiene cuando n=0, 1=(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero. Paso Inductivo:Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora 1+a1+a2+...+an+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+(an+1(a-1))/(a-1) =(an+2-1)/(a-1) Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...

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Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Definición Un grafo simple es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E, donde cada arco es una par no ordenado de distintos vértices a y b. El grado de un vértice es el número de arcos que se conectan a el. Ejercicio: Dibuje un grafo con 3 vértices de grado 2,2 y 1.

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Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Problema:Localización de galpones para aeronaves. Horario de Aerolíneas Dado un conjunto de vuelos que llegan a distintos horarios, ¿Cuántos galpones necesitamos para poder acomodar dichos aviones?

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