Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

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Número Cromático Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema? ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?

Ciclos Simples Cn

Grafo Completo Kn

Wheel (Rueda) Wn

Un ciclo dispar necesita 3 colores. Un grafo completo necesita exactamente n colores. Wheel (rueda) pueden ser coloreados con 4 colores Si el rim exterior esta incluido, entonces se pueden utilizar 3 colores

Un grafo es 2-coloreable ssi no existen ciclos impares. Un grafo completo Kn, requiere n colores. Si el máximo grado es dmax, entonces el grafo puede ser coloreado con (dmax+1) colores. Todo grafo planar puede ser coloreado con 4 colores.

Coloreando con dmax colores Hipótesis Inductiva P(n)= es un grafo con n vértices y de grado máximo dmax , entonces el grafo puede ser coloreado con dmax+1 colores. Caso Base Paso Inductivo -Dado un grafo con n+1 vértices, le sacamos 1 vértice. -Recordamos que un grafo con n vértices es coloreable con dmax+1 -Agregamos nuevamente el vértice

Isomorfismo de grafo, no geometría

Isomorfismo de Grafos

Isomorfismo de Grafos El isomorfismo es una relación de equivalencia entre los n vértices de un grafo. Se pueden testear algunas invariantes, pero es un problema complejo, ya que existen n! Mapeos.

Topología, no geometría.

Equivalencia de Grafos (Isomorfismo)

Grafos Isomorficos

Encontrando un Mapeo No es fácil encontrar todos los posibles mapeos (existen n! posibilidades). Se puede testear las invariantes -El mismo número de vértices y arcos. -El mismo grado de distribución -Preservación de ciclos, camino más largo, etc.

Árboles

Aplicaciones de Árboles Estructura de datos para ordenar y búsquedas. Spanning Tree. Árboles de Juego (árboles Alfa-Beta). Códigos de Prefijos (codificación de Huffman) Muchos algoritmos basados en árboles en el ramo de estructura de datos y diseño de algoritmos.

Definición: un árbol es un grafo simple conectado sin ciclos. Ejercicio: Dibuje un árbol con 5 vértices Pregunta: ¿Cuántos arcos debería de tener el árbol 3,4, o 5?.

Otra Definición Definición 2: Un árbol es un grafo conectado con n vértices y n-1 arcos. En efecto, un árbol es un pequeño grafo conectado con n vértices.

Definiciones equivalentes de Árboles Es un grafo conectado sin ciclos Es un grafo conectado donde |E|=|V|-1 Es un grafo donde removiendo algún arco, alguna hoja queda desconectada. Es un grafo donde existe un único y simple camino entre dos vértices

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