LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

Otros elementos de la circunferencia Flecha o sagita Q  P Recta secante Cuerda PQ Arco BQ A B  T  Punto de tangencia Recta tangente

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. B C D Si : AB // CD  m AC = m DC

Las cuerdas equidistan del centro 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Arcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro

1. - MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B r   = mBA

2. - MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B C 

4. - MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B 

4. - MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A B C 

5. - MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR 5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos B D A C 

  + mBA = 180° 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: A C O B a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A B C O   + mBA = 180°

b. - Ángulo formado por dos rectas secantes b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. A B C O D 

c. - Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A B C O 

Algunas propiedades importantes…….. 7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales g 2g 90º 180º Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

PROBLEMAS RESUELTOS

Resolviendo la ecuación: Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Se traza la cuerda SQ Q P Reemplazando: R S 70º+x 50° 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° X Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

Problema Nº 02 RESOLUCIÓN Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS m  S = 70º Por ángulo inscrito R Q Se sabe que: mQR = 140° H mQsR = 220° S 70° 140° X P 20° X = 40° Resolviendo:

Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A C B D mBC = 50° Medida del ángulo exterior 130° 50° x P Resolviendo: X = 40°

Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la mAPN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x M N Dato: OM(radio) = PM 54° Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco o x x A B x P Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: A B C  PRQ = x 70° 70° + mPQ = 180° mQP = 110° 110° P Q R Medida del ángulo inscrito: x Resolviendo: X = 55°

Problema Nº 06 A 70° X P B Resolución Calcule la medida del ángulo “X”. 70° B A X P Resolución

X = 40º RESOLUCIÓN A C 70° 220º 140º X P B mBA=140º 220º- 140º = x 2 Medida del ángulo inscrito: mBA=140º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 220º- 140º = x 2 X = 40º Resolviendo:

Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x” B A X P 130º Resolución

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: B A X P 130º C RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: mAB = 260º En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mACB = 100º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: mACB + x = 180º X = 80º

Problema Nº 08 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos QS y SR sean congruentes. Si el arco RQ mide 80º, calcular mQPR . PLANTEAMIENTO Q a P 80º X R S Resolución

RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º