ECUACIONES CUADRÁTICAS

DEFINICIÓN Una ecuación cuadrática de variable “x” es aquella que puede escribirse en la forma: ax2 + bx + c = 0 Donde: a, b y c son números reales (a 0). Ejemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0 ( a = 2, b = 7, c = 3 ) FORMAS INCOMPLETAS ax2 + bx = 0 Ejemplo: 3x2 – 2x = 0 Ejemplo: 2x2 – 32 = 0 ax2 + c = 0 ax2 = 0 Ejemplo: 9x2 = 0

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS: Incompletas. Puras. Carece del término en x. Mixtas. Carece del término constante. Completas. Tienen todos sus elementos.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODO DE FACTORIZACIÓN Ejemplo N°1: Resolver x2 - 7x + 12 = 0 Resolución: x2 7x + 12 = 0 x 3 4 3x Factorizando: = 7x 4x Entonces: (x  3)(x  4) = 0 Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0 De donde: x = 3 ó x = 4 Por tanto: C.S. = 3; 4

Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x Resolución: Escribimos la ecuación de la forma: 3x2  5x = 0 Factorizamos “x”: x( 3x  5 ) = 0 Luego: x = 0 ó 3x  5 = 0 De donde: x = 0 ó x = 5/3 Por tanto: C.S. = 0; 5/3 OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable en la ecuación original porque se pierde una solución

Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2 Resolución: Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0 Para ello efectuamos las operaciones de multiplicación en el primer miembro (3x – 4)(x + 1) = – 2 Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2 Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0 2 – 1 3x x 2x = x Factorizando: 3x Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0 Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0 De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. =  –2/3; 1 

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot) Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden calcularse mediante la fórmula A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le llama discriminante y se representa por D. Es decir: D = b2 – 4ac

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE 1. Si D > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0 Resolución: Reemplazamos en: Identificamos los valores de los coeficientes: a = 2; b = – 3; c = –1 Obtenemos: De donde:

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE 2. Si D = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0 Resolución: Reemplazamos en: Identificamos los valores de los coeficientes: a = 4; b = – 12; c = 9 Obtenemos: De donde:

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE 3. Si D < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0 Resolución: Reemplazamos en: Identificamos los valores de los coeficientes: a = 1; b = 1; c = 1 Obtenemos: Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales ( sus soluciones son imaginarias )

PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE DISCRIMINANTE CUADRADO PERFECTO DIFERENTE DE CERO. Las raíces son reales, racionales y de diferente valor. DISCRIMINANTE MAYOR QUE CERO (POSITIVO), PERO NO ES CUADRADO PERFECTO. Las raíces son reales, irracionales y de diferente valor. DISCRIMINANTE IGUAL A CERO. Las raíces son reales e iguales. DISCRIMINANTE MENOR QUE CERO. Las raíces no son reales. Son imaginarias.

APLICACIONES Resolución 3p2 – 4p = 24 – p2 Oferta = 3p2 – 4p Equilibrio de mercado Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda) Resolución 3p2 – 4p = 24 – p2 Oferta = 3p2 – 4p Luego: 4p2 – 4p – 24 = 0 Demanda = 24 – p2 Simplificando: p2 – p – 6 = 0 Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0 Luego: p = 3 ó p = –2 Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado estará en equilibrio (no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos hablar de precio negativo)

APLICACIONES Resolución Datos: Negocios Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por unidad es de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que: Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero) Resolución Datos: Costo variable = 2q Elevando al cuadrado: Costo fijo = 1200 10000q = 4q2 + 4800q + 1440000 Reduciendo: q2 – 1300q + 360000 = 0 Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0 Luego: q = 900 ó q = 400 Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero