Los Números Enteros

Números Enteros ---- ­776 +7 - 70 +20 +10 - 8 +20 ---- ­776 +10 El Buzo llegó hasta los 70 metros bajo el nivel del mar Buena temperatura ambiental + 20°C Los juegos Olímpicos empezaron el año 776 antes de Cristo Jorge Tiene 10 años - 8

Los números naturales se consideran enteros positivos Se pueden escribir tanto 4 como + 4 Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero Por cada entero positivo, se corresponde un entero negativo +5 , - 5, ………+ 3 , - 3 …….. + 357 , - 357 , etc.

Representación de los números enteros Para representar los números enteros en una recta se deben seguir los siguientes pasos 1° Se traza una recta y se elige un punto para representar el cero 2° A la derecha del cero se ubica el + 1 3° La distancia entre el cero y el + 1 será la distancia entre dos enteros consecutivos. Positivos Negativos -6 -4 -1 1 2 6 4° A la derecha del cero se colocarán los enteros positivos 5° A la izquierda del cero se colocarán los enteros negativos

Valor Absoluto de un número Los números +4 y -4 están a la misma distancia del 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Es evidente que +4 y -4 están asociados al mismo número natural 4. Esto se utiliza para definir el valor absoluto de un número. Valor absoluto de un número es la distancia a que se encuentra del origen del sistema, es decir, la distancia a que se encuentra del 0. Se simboliza con un par de barras.

Están a la misma distancia del 0 | - 4 | = 4 Ejemplos: | +4 | = 4 Están a la misma distancia del 0 | - 4 | = 4 Del mismo modo: |- 2 | = 2 |+2 | = 2 |+35 | = 35 |- 42 | = 42 Hay varias definiciones de valor absoluto, pero se simplifica diciendo que el valor absoluto de un número corresponde al valor del número sin el signo (a su valor positivo).

Operatoria con Números Enteros Suma Resta Multiplicación División

Suma de enteros de igual signo a) Suma de enteros positivos (+4) + (+7) = + 11 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (+2) + (+3) = + 5 También se escribe: (+2) + (+3) = + (2 + 3) = + 5

b) Suma de enteros negativos (-3) + (-5) = - 8 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 (-4) + (-7) = - 11 También se escribe : (-4) + (-7) = - ( 4 + 7) = - 11

Para sumar números del mismo signo: 1° Se suman sus valores absolutos. En resúmen: (+16)+(+14) = +30 (+5)+(+21)+(+7) = +33 (+28)+(+56) = +84 (-35)+(-72) = -107 (-15)+(-81)+(-93) = -189 (-15) = (-8)+(-7) Para sumar números del mismo signo: 1° Se suman sus valores absolutos. 2° Se antepone el signo que tenían los números.

Suma de números de distinto signo Veamos algunos ejemplos: a) Compramos una docena de huevos Quebramos 8 huevos (+ 12) + (-8) = + 4 Nos quedan: b) Nos dieron $ 16.000 para comprar gastamos $ 19.000 (+$16.000) + (- $19.000) = - $3.000 El saldo de la cuenta es: Para sumar dos números de distinto signo: 1° Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor 2° Al resultado se le coloca el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Suma de varios números enteros (+100) + (-40) + (-70) + (+50) = (+100) + (+50) + (-40) + (-70) Veamos un ejemplo: (+100) + (-40) + (-70) + (+50) = (+100) + (+50) + (-40) + (-70) = (+150) + (-110) = + 40 Para sumar varios números enteros: 1° Se suman separadamente los números enteros positivos y negativos. 2° Se suman el número entero positivo y el número entero negativo obtenidos.

Opuesto de un número entero y -4 son dos números simétricos respecto de cero. tienen el mismo valor absoluto per distinto signo. Se llaman opuestos. 4 = op (-4) -4 = op(+4) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (-3) = op (+3) (+3) = op(-3)

* El opuesto del opuesto de un número es el mismo número Nota: * El opuesto del opuesto de un número es el mismo número - ( - 6) = +6 - (+ 6) = -6 * El opuesto de la suma es igual a la suma de los opuestos, como lo demuestra la siguiente tabla. a b a + b Op (a+b) Op a Op b Op (a) + opp´(b) 8 -2 6 - 6 - 8 2 -8 + 2 = -6 -7 -5 5 12 -12 7 7 + 5 = 12 E

Resta de Números enteros Si observas que: (+9) – (+4) = 5 Es lo mismo que: 9 – 4 = (+9) + (-4) = 5 Entonces: Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo Ejemplos: (+9) – (-4) = 9 + 4 = 13 (-9) – (+4) = (-9) + (-4) = (-13) (-9) – (-4) = (-9) + (+4) = (-5)

El uso del paréntesis Vamos a calcular: 9 – (12 + 3) = ¿? 9 – (12 + 3) = ¿? 1° Realizando primero las operaciones del paréntesis 9 – 15 = - 6 2° También se puede hacer usando los opuestos: 9 – (12 + 3) = 9 + op (12) + op(3) = 9 + (-12) + (-3) = 9 + (-15) = - 6 Se obtiene el mismo resultado

Calculemos ahora: 12 – ( 10 – 6) 1° Resolviendo primero el paréntesis: 12 – ( 10 – 6) = 12 – 4 = 8 El mismo resultado 2° Sumando los opuestos: 12 – (10 – 6) = 12 + op(10) + op(-6) = (+12) + (-10) + (+6) = 18 + (-10) = 8 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (-), se puede operar de dos maneras diferentes: 1° Resolviendo primero el paréntesis. 2° Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.

Multiplicación de Números Enteros a) Dos enteros positivos (+4) · (+8) = (+8) + (+8) + (+8) + (+8) = +32 b) Un entero positivo por otro negativo (+4) · (-8) = (-8) + (-8) + (-8) + (-8) = -32 (-4) · (+8) = (+8) · (-4) = (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4) = - 32 c) Dos enteros negativos Luis consumirá tres frutas cada día durante sus Vacaciones, entonces, si Luis disminuye sus vacaciones en cinco días, ¿cuánta fruta ahorra’ Cada día ahorra 4 frutas -4 (-4) · (-8) = +32 Deja de ir 8 días -8 Ahorra las frutas que no consumió +32

Resumiendo: a) (+4) · (+8) = + 32 b) (+4) · (-8) = - 32 c) (-4) · (+8) = - 32 d) (-4) · (-8) = + 32 El producto de dos números enteros es un número entero que: 1°) Su valor absoluto será igual al producto de los valores absolutos de los factores. 2°) Su signo será: Positivo cuando los factores tienen el mismo signo. Negativo, si los dos factores son de signo distinto.

Regla de los signos Para multiplicar (y dividir) números enteros hay que tener en cuenta el signo de cada uno de sus factores, ya que existen cuatro posibilidades. + ● = -

Se obtiene el mismo resultado Producto de varios enteros Calculemos (-4) · (+8) · (-3) = ¿? Observa: a) -4 · 8 · (-3) = -32 · (-3) = +96 Se obtiene el mismo resultado b) -4 · 8 · (-3) = -4 · (-24) = +96 Para multiplicar varios números enteros, se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera (propiedad asociativa) y se realizan las multiplicaciones por parejas.

División de números enteros Recordemos que la división es la operación inversa de la multiplicación, entonces: ¿Cuál es el número que multiplicado por (-8) da como resultado 32? X · (-8) = + 32 Por lo que ya hemos visto, ese número es (-4), entonces: X = (+32) : (-8) = (-4) Las propiedades del cociente de dos números enteros son las mismas que las del producto de dos números enteros.

Tendemos entonces que podemos resumir como: El cociente de dos números enteros es un número entero que: 1°) Su valor absoluto será igual al cociente de los valores absolutos de los factores. 2°) Su signo será: Positivo cuando los factores tienen el mismo signo. Negativo, si los dos factores son de signo distinto.

Regla de los signos Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo de cada uno de sus factores, ya que existen cuatro posibilidades. + : = -