Modelos de máxima verosimilitud para secuencias de ADN Eliseo Martínez, Catherine Lizama
denota el valor de la base en un determinado sitio del ADN C A G T Probabilidad de que la base i cambie a la base j luego de transcurrido el tiempo T (varias generaciones) C A G T Hipótesis fundamental: la tasa total de mutación, m, es constante, esto es la razón de sustitución de cambio de base de generación a generación es constante. probabilidad de que una base mute a la base i
C A G T La probabilidad de que no ocurra mutación en ningún sitio hasta la generación T es C A G T … y en consecuencia la probabilidad de que ocurra (al menos una) mutación hasta la generación T es
i j C A G T C A G T La probabilidad de mutación después del tiempo T … y que el cambio haya sido por j (desde i) es entonces … C A j G T
Ahora calcularemos la probabilidad de que el sitio, estando en la base i, al cabo de T generaciones siga con la base i. Esto es… C A i G T … la probabilidad de no mutación después del tiempo T… … o que haya mutado al mismo estado (estando inicialmente en i) es decir… C A i G T
La probabilidad de cambio de base después del tiempo T está dada por Si ocurre que
El modelo anterior considera el tiempo discreto (de generación en generación, digamos en intervalos de 20 años, por ejemplo). Un tratamiento más general considera el tiempo continuo, y entonces se usan probabilidades “instantáneas” de transición de una base a otra. Probabilidad de cambio de una base a otra (de i a j) en un tiempo de duración Dt … y en consecuencia la probabilidad de no cambiar en un tiempo de longitud Dt es Ojo: recuerde que
¡cuidado, hay 16 ecuaciones! En este poco tiempo debe mutar desde k hasta j ¡cuidado, hay 16 ecuaciones! … y una de ellas es esta…
Afortunadamente estas 16 ecuaciones se pueden escribir en forma matricial (con matrices de 4 x 4) de la siguiente forma: