MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT

Presentación del tema: "MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT"— Transcripción de la presentación:

1 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Y, p A 1 1 – b1 – b2Xi b1 +b2Xi b1 b1 + b2Xi B Xi X El modelo de probabilidad lineal puede hacer predicciones sin sentido que indiquen que un evento ocurrirá con una probabilidad mayor a 1 o menor a 0. 1

2 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
La manera común de evitar este problema es establecer la hipótesis de que la probabilidad es una función sigmoidea (S-shaped) de Z, F(Z), en la que Z es una función de la variable explicativa. 2

3 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Muchas funciones matemáticas son sigmoideas en carácter. Una es la función logística mostrada aquí. Mientras Z va al infinito, e–Z va hacia a 0 y p va a 1 (pero no lo puede exceder). Mientras que Z va hacia menos infinito, e–Z va hacia el infinito y p hacia 0 (pero no puede ser menor a 0). 3

4 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
El modelo implica que, para valores de Z menores a –2, la probabilidad de ocurrencia del evento es baja y poco sensible a las variaciones de Z. 4

5 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Para obtener una expresión de la sensibilidad, se deriva F(Z) con respecto a Z. El recuadro gris contiene la regla general para derivar un cociente y lo aplica a F(Z). 5

6 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
La sensibilidad, medida por la pendiente, es mayor cuando Z es igual a 0. La función marginal, f(Z), alcanza un máximo en este punto. 6

7 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Para un modelo no-lineal de este tipo, la estimación de máxima verosimilitud es muy superior al principio de mínimos cuadrados en la estimación de los parámetros. Mayores detalles sobre esta apliación se encuentran al final de esta presentación. 7

8 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Se aplicará este modelo al ejemplo de graduados de la preparatoria descrito en la presentación del “Modelo de probabilidad lineal”. Se inicia asumiendo que ASVABC es la única variable explicativa relevante, por lo que Z es una función simple de ésta. 8

9 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. logit GRAD ASVABC Iteration 0: Log Likelihood = Iteration 1: Log Likelihood = Iteration 2: Log Likelihood = Iteration 3: Log Likelihood = Iteration 4: Log Likelihood = Iteration 5: Log Likelihood = Logit Estimates Number of obs = chi2(1) = Prob > chi2 = Log Likelihood = Pseudo R2 = grad | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] asvabc | _cons | El comando de Stata es logit, seguido por la variable dependiente y la(s) variable(s) explicativa(s). La estimación de máxima verosimilitud es una proceso iterativo, por lo que la primera parte del resultado será similar al que se muestra. 9

10 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. logit GRAD ASVABC Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Logit estimates Number of obs = LR chi2(1) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R = GRAD | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] ASVABC | _cons | En este caso los coeficientes de la función Z son los que se muestran. 10

11 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Puesto a que sólo hay una variable explicativa, podemos dibujar las funciones de probabilidad y de efectos marginales como funciones de ASVABC. 11

12 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Observamos que ASVABC tiene un mayor efecto en la graduación cuando es menor a 40, es decir, en el rango más bajo de habilidad. Cualquier individuo con un puntaje superior al promedio (50) seguramente se graduará. 12

13 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. logit GRAD ASVABC Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Logit estimates Number of obs = LR chi2(1) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R = GRAD | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] ASVABC | _cons | El estadístico t indica que el efecto de la variación de ASVABC sobre la probabilidad de graduarse de la preparatoria es altamente significativo. 13

14 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. logit GRAD ASVABC Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Logit estimates Number of obs = LR chi2(1) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R = GRAD | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] ASVABC | _cons | En realidad, el estadístico t es válido solamente para muestras grandes, por lo que la distribución normal es la distribución de referencia. Por esta razón el estadítico se denota con una z en el resultado de Stata. Esta z no está relacionada con la función Z . 14

15 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
El coeficiente de la función Z no tiene ninguna interpretación intuitiva directa. 15

16 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Sin embargo, podemos utilizarlos para cuantificar el efecto marginal de un cambio en ASVABC sobre la probabilidad de graduarse. Esto se realizará teóricamente para el caso general donde Z es una función de muchas variables explicativas. 16

17 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Puesto que p es una función de Z, y Z es una función de las variables X, el efecto marginal de Xi sobre p puede expresarse como el producto del efecto marginal de Z sobre p y el efecto marginal de Xi sobre Z. 17

18 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Ya se derivó una expresión para dp/dZ. El efecto marginal de Xi sobre Z está dado por su coeficiente b. 18

19 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Por lo tanto, se obtiene una expresión para el efecto marginal de Xi sobre p. 19

20 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
El efecto marginal no es constante debido a que depende de los valores de Z, que a su vez dependen de los valores de las variables explicativas. Un procedimiento muy común es evaluarlo con base en la media muestral de las variables explicativas. 20

21 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. sum GRAD ASVABC Variable | Obs Mean Std. Dev Min Max GRAD | ASVABC | Logit estimates Number of obs = LR chi2(1) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R = GRAD | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] ASVABC | _cons | La media muestral de ASVABC en esta muestra es 21

22 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. sum GRAD ASVABC Variable | Obs Mean Std. Dev Min Max GRAD | ASVABC | Logit estimates Number of obs = LR chi2(1) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R = GRAD | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] ASVABC | _cons | Cuando se evalúa en la media, Z es igual a 22

23 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. sum GRAD ASVABC Variable | Obs Mean Std. Dev Min Max GRAD | ASVABC | e–Z es Por lo tanto, f(Z) es 23

24 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. sum GRAD ASVABC Variable | Obs Mean Std. Dev Min Max GRAD | ASVABC | El efecto marginal, evaluado en la media, es entonces Esto implica que un punto de incremento en ASVABC incrementaría la probabilidad de graduarse de la preparatoria en 0.4%. 24

25 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
51.36 En este ejemplo, el efecto marginal en la media de ASVABC es bastante bajo. La razón es que cualquier persona con un puntaje promedio tiene certeza de graduarse de cualquier manera. Por lo que un incremento en el puntaje tiene un efecto muy bajo. 25

26 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. sum GRAD ASVABC Variable | Obs Mean Std. Dev Min Max GRAD | ASVABC | Para mostrar que el efecto marginal varía, también se calculará para ASVABC igual a 30. Un punto de incremento en ASVABC aumenta la probabilidad en 2.9%. 26

27 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Un individuo con un puntaje de 30 tiene sólo 67% de probabilidad de graduarse, y un incremento en su puntaje tiene un impacto relativo mayor. 27

28 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. logit GRAD ASVABC SM SF MALE Iteration 0: log likelihood = Iteration 1: log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Iteration 5: log likelihood = Logit estimates Number of obs = LR chi2(4) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R = GRAD | Coef. Std. Err z P>|z| [95% Conf. Interval] ASVABC | SM | SF | MALE | _cons | Este es el resultado de un modelo con una mejor especificación. 28

29 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
. sum GRAD ASVABC SM SF MALE Variable | Obs Mean Std. Dev Min Max GRAD | ASVABC | SM | SF | MALE | Se estimarán los efectos marginales al poner todas las variables explicativas en el valor de su media muestral. Como se aprecia, 94% de los casos se graduaron. 29

30 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Logit: Marginal Effects mean b product f(Z) f(Z)b ASVABC SM –0.023 – –0.001 SF MALE Constant 1.00 –3.252 –3.252 Total El primer paso es calcular Z, cuando las variables X con iguales a su media muestral. 30

31 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Logit: Marginal Effects mean b product f(Z) f(Z)b ASVABC SM –0.023 – –0.001 SF MALE Constant 1.00 –3.252 –3.252 Total Ahora, se calcula f(Z). 31

32 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Logit: Marginal Effects mean b product f(Z) f(Z)b ASVABC SM –0.023 – –0.001 SF MALE Constant 1.00 –3.252 –3.252 Total Los efectos marginales estimados son f(Z) multiplicado por su respectivos coeficientes. Se observa que el efecto ASVABC es similar al anterior. La educación de la madre tiene un efecto insignificante y la educación del padre no tiene un efecto discernible. 32

33 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Logit: Marginal Effects mean b product f(Z) f(Z)b ASVABC SM –0.023 – –0.001 SF MALE Constant 1.00 –3.252 –3.252 Total Los hombre tienen 0.4% mayor de probabilidad de graduarse respecto a las mujeres. Estos efectos habrían sido mayores si se hubieran evaluado respecto a los menores puntajes de ASVABC. En stata, los efectos marginales se calculan con los comandos mfx o prvalue, entre otros. 33

34 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Las personas que se graduaron: probabilidad del resultado Esta presentación concluirá con una explicación puntual de cómo se estima el modelo utilizando la estimación de máxima verosimilitud. 34

35 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Las personas que se graduaron: probabilidad del resultado En el caso de un individuo que se graduó, la probabilidad de ese resultado es F(Z). Daremos los subíndices 1,…, s a los individuos que graduaron. 35

36 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Maximize F(Z1) x ... x F(Zs) x [1 – F(Zs+1)] x ... x [1 – F(Zn)] Las personas que se graduaron: probabilidad del resultado Las personas que no se graduaron: probabilidad del resultado En el caso de un individuo que no se graduó, la probabilidad es este resultado es 1 – F(Z). Daremos los subíndices s+1, ..., n a estos individuos. 36

37 MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA: ANÁLISIS LOGIT
Maximize F(Z1) x ... x F(Zs) x [1 – F(Zs+1)] x ... x [1 – F(Zn)] Se graduaron No se graduaron Seleccionamos b1 y b2 para maximizar la probabilidad conjunta de estos resultados, esto es, F(Z1) x ... x F(Zs) x [1 – F(Zs+1)] x ... x [1 – F(Zn)]. No existe una fórmula matemática para b1 y b2. Tienen que ser determinadas iterativamente en un proceso de prueba y error. 37

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