De la pequeñez del átomo y del fantástico número de Avogadro. Alberto Rojas Hernández y Ricardo Ramírez Martínez Trimestre 05P Mayo de 2005 Un modelo sencillo.

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1 De la pequeñez del átomo y del fantástico número de Avogadro. Alberto Rojas Hernández y Ricardo Ramírez Martínez Trimestre 05P Mayo de 2005 Un modelo sencillo para problemas de composición química. (Adaptado de una serie de problemas de la UEA Química (214010) Propuesto por José Luis Córdova en el año 2000)

2 Una moneda de 12g contiene 10g de plata (Ag) y 2g de cobre (Cu). Las masas molares de los elementos son 107.9g/mol y 63.5g/mol, respectivamente. a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu? b) Si todos esos átomos de Ag se acomodaran en línea recta, uno detrás de otro ¿qué distancia cubrirían? La densidad de la plata es 10.6 g/cm 3. Considere que cada átomo de plata es un pequeño cubo. c) ¿Cuál será el tamaño de un átomo de plata? Problema

3 Consideraciones iniciales Leyendo cuidadosamente el problema se puede trabajar con un modelo sencillo para poder responder las preguntas que se han planetado. De esta forma, se está suponiendo que las monedas están formadas, a nivel microscópico, por átomos de plata (Ag) y átomos de cobre (Cu). Como la plata y el cobre son elementos diferentes uno de estos átomos contiene más materia que el otro y también es muy posible que tengan tamaños diferentes. Finalmente, para poder resolver los incisos (b) y (c), se dice que debe suponerse que los átomos son pequeños cubos.

4 Para poder saber cuántos átomos de cada tipo hay en una moneda de 12g se dan varios datos. Cada moneda tiene 10g de Ag y 2g de Cu, en tanto que la masa molar de la plata es 107.9g/mol y la del cobre es 63.5g/mol. Es conveniente escribir esta información en forma algebraica: Con respecto a las masa (m) del sistema y de cada elemento: Solución al inciso (a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu?

5 Con respecto a las masa molar (MM) de Ag y Cu: n Ag y n Cu son las cantidades de sustancia de la plata y el cobre asociadas a las masas m Ag y m Cu, respectivamente. En el Sistema Internacional de unidades (SI) la unidad fundamental de cantidad de sustancia es la (o el) mol. En el mismo SI, 1 mol de una sustancia contiene un número de Avogadro  A de partículas o entidades elementales constituyentes. En la actualidad se acepta que  A = 6.022  10 23 partículas/mol. Solución al inciso (a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu?

6 Solución al inciso (a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu? Procedimiento algebraico para resolver el problema: Se despejan las cantidades de sustancia, n Ag y n Cu, de las ecuaciones de definición de las masas molares de los elementos, de manere que: Ahora bien, la cantidad de átomos (N) de cada elemento se obtiene multiplicando su cantidad de sustancia por el número de Avogadro, porque para un elemento sus partículas constituyentes son átomos. Por lo tanto:

7 Solución al inciso (a) ¿Cuántos átomos hay de Ag y cuántos de Cu? Sustituyendo los valores en las expresiones anteriores se tiene que, para la moneda de 12g: Finalmente, realizando las operaciones indicadas, se tiene la Respuesta

8 Solución al inciso (b) Si se acomodaran los átomos de plata uno tras otro, ¿qué distancia cubrirían? Modelo: Recuerde que se pide que se considere que cada átomo de plata es un pequeño cubo. Por lo tanto, es posible imaginar que la cantidad de 10g de plata podría abarcar un cubo, formado a su vez por pequeños cubos, que son los átomos de plata. 1 átomo de plata 1000 átomos de plata

9 Solución al inciso (b) Si se acomodaran los átomos de plata uno tras otro, ¿qué distancia cubrirían? Ahora bien, para poder contestar esta pregunta se proporciona otro dato. Se recuerda que la densidad de la plata es 10.6g/cm 3. La densidad (  ) de un sistema, se define como el cociente de la cantidad de materia (masa) del sistema con respecto al volumen (v) que ocupa el mismo. Así, en el caso de la plata Es posible conocer el volumen de un cubo de 10g de plata, despejando el volumen de la expresión anterior.

10 Solución al inciso (b) Si se acomodaran los átomos de plata uno tras otro, ¿qué distancia cubrirían? De acuerdo a cualquier modelo atómico, puede decirse que el volumen de 1 átomo de plata ( v Ag ) sería el volumen de 10g de plata (0.9434cm 3 ) dividido entre el número de átomos contenido en ese volumen (N Ag = 5.581  10 22 átomos de plata). Por otra parte, como se está considerando que cada átomo es un cubo y el volumen del cubo es la longitud de su arista ( l Ag ) elevada al cubo, dicha longitud sería entonces:

11 Solución al inciso (b) Si se acomodaran los átomos de plata uno tras otro, ¿qué distancia cubrirían? Finalmente, si todos los átomos que habría en 10g de plata, de acuerdo a este modelo (5. 581  10 22 ), se colocaran alineados uno tras otro, la distancia (d) que cubrirían sería la longitud de cada cubo multiplicada por el número de átomos. Entonces se obtiene la: Respuesta Si se toma en cuenta que la unidad astronómica representa la distancia del Sol a la Tierra y que equivale aproximadamente a 150 millones de kilómetros (1.50  10 8 km), ¡los 5.581  10 22 átomos contenidos en 10 g de plata (supuestos cúbicos) estarían cubriendo aproximadamente 100 veces esa distancia!

12 Solución al inciso (c) ¿Cuál será el tamaño de un átomo de plata? La longitud de la arista del átomo cúbico de plata ( l Ag = 2.566  10 -8 cm, ¡magnitud casi 1000 veces menor a la longitud de una célula!) debería ser una medida aproximada del diámetro atómico. Se esperaría que este valor no fuera muy diferente al reportado en la literatura científica si los supuestos del modelo utilizado fueran también más o menos razonables. La longitud calculada en el inciso anterior se puede expresar en forma más adecuada en la unidad práctica angstrom (que se simboliza como Å y una equivalencia tal que 1Å  1  10 -8 cm). Por lo tanto, la longitud calculada para los átomos supuestos cúbicos es l Ag = 2.566Å. Por otra parte, en la literatura científica, el radio covalente del átomo de plata se reporta como 1.53Å, en tanto que el radio de Van der Waals se establece como 1.44Å. ¡Esto muestra que el modelo no es tan malo para lo que se quería conceptualizar! Pero, ¿por qué?

13 Para pensar un poco más Repetir los incisos (b) y (c) del problema, pero para los átomos contenidos en 2g de cobre. La densidad del cobre es 9.0g/cm 3.

14 Comprativamente, la representación gráfica debería ser 1 átomo de cobre 1000 átomos de cobre 1 átomo de plata 1000 átomos de plata