UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO Facilitador: Lic. Mat. Patricia Isabel Aguilar Incio.

Objetivo de hoy Determinar cuando una expresión o un diagrama representa una función Diferenciar los tipos de funciones Bosquejar la gráfica de una función Determinar el Dominio y el Rango de Funciones

PREVIO: Repaso de Fórmulas de Álgebra Básica

Ejercicios de Factorización Resolución de Ecuaciones Resolución de Inecuaciones Fueron realizados en la Pizarra

Revisión de Algunos Conceptos Función y Relación Dominio y Rango de una Función Sistema de Coordenadas Cartesianas Función: Constante, Lineal, Cuadrática, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Racional. Gráfica de Funciones por tablas Gráfica de funciones pos software

FUNCIÓN REAL Una función es una regla f,que asigna a cada número de entrada “x ∈ X” exactamente un número de salida “y ∈ Y”. Al conjunto de números de entrada X a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de salida Y es llamado el rango. En este curso X e Y serán subconjuntos de R (conjunto de los números reales) Ejemplo:

Elementos básicos en el estudio de una función. DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o IMAGEN GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN El recorrido es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x

GRÁFICA o GRAFO

Funciones Lineales: y = mx + n Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio 3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3

3ª) y = (1/3)x +1 1ª) y = 2x +1 2ª) y = 5x +1 D f = A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal Ordenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1 2ª) y = -3x + 5 3ª) y = -3x + 2 Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

RESUMEN: Funciones lineales: y = mx + n D f = R f = ¡Ojo! Si m=0, R f = {n} R f = {-2}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal: A) Movimiento uniforme: e = e 0 + vt B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L 0 (1 + kt) D) DEMANDA LINEAL, OFERTA LINEAL, DEPRECIACIÓN LINEAL, COSTO.

Funciones cuadráticas y = ax 2 + bx + c Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas D f = Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es significativo y que puede llamar a confusiones Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Ahora observamos la gráfica con toda su significación Las claves están en los siguientes elementos: Cortes con el eje OX Vértice

Funciones cuadráticas D f = y = ax 2 + bx + c Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax 2 + bx + c = 0  x 1 y x 2  (x 1, 0) y (x 2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(x v, yv)yv) 3. Completar, si es necesario, con una tabla Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = 1) y = x 2 -8x - 9 Vértice (4, -25) R f = [-25, +  )

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x 2 V(2, -9) R f = [-9, +  ) V(2, -5) R f = [-5, +  ) V(2, -20) R f = [-20, +  )

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = y = x 2 - 3x + 2 y = 3x 2 + 2x +1 y = 20x x + 5

Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = - 3x 2 + x - 2 y = - 3x 2 – x + 2 y = - x 2 + 7x - 10 ¡Ojo! En este caso: R f = (-∞, x v ]

Funciones polinómicas Grado >2 D f =

Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = x 3 y = 2x 3 y = 5x 3 Obsérvese el efecto y = c·f(x) D f = R f =

Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = x 3 + 1y = x 3 y = x y = x D f = R f = Obsérvese el efecto y = f(x) + c

Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x 3 - 4x 2 + x +6 D f = R f =

Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x + 1) 2 (x - 2) = x 3 - 3x - 2 D f = R f = Solución doble

Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x 2 + 1)(x - 2) = x 3 - 2x 2 + x - 2 Raíces complejas D f = R f =

Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x 3 + 6x 2 -11x + 6 D f = R f = Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo

Funciones cuárticas: y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x 4 - 2x 3 - x 2 + 2x D f =

Funciones fraccionarias D f = - {x/ Q m (x) = 0}

Funciones fraccionarias Asíntotas verticales Asíntota horizontal y = 0 x = 3 x = 0 x = -3/4 R f = - {0} Gráfica: HIPÉRBOLA

Funciones fraccionarias Gráfica: HIPÉRBOLA 5x + 10 = 0  x = -2 Asíntota vertical Asíntota horizontal D f = - {-2} R f = - {3/5}

Funciones fraccionarias Asíntota horizontal y = 1 Asíntotas verticales x = -1 x = 4 D f = - {-1, 4}

Funciones trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ···

Función exponencial y = a x a>0

Función exponencial y = 2 x y = e x y = 10 x D f = R f = (0, +  ) Asíntota horizontal y = 0 e  2’ Función monótona creciente

Función exponencial y = 0’5 x y = 0’1 x y = (1/e) x D f = R f = (0, +  ) Asíntota horizontal y = 0 Función monótona decreciente

Función exponencial y = a x a>0 RESUMEN

Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial

Función logarítmica y = log a (x) a > 0

Función logarítmica como función inversa de la función exponencial Función exponencial y = axax Bisectriz y = x Función logarítmica y = log a (x) R f = (0, +  ) R f = D f = (0, +  ) a 0 = 1 Log a (1) = 0

Función logarítmica y = log 2 (x) y = ln(x) y = log(x)

Función logarítmica y = log 0’1 (x) y = log 1/e (x) y = log 0’5 (x)

DEMANDA La demanda en economía se define como la cantidad y calidad de bienes y servicios que pueden ser adquiridos a los diferentes precios del mercado por un consumidor (demanda individual) o por el conjunto de consumidores (demanda total o de mercado). La demanda es una función matemática expresada de la siguiente manera: economíamercadodemanda individualdemanda total o de mercadoeconomíamercadodemanda individualdemanda total o de mercado Qdx = F(P,I,G,N,Ps,Pc) Donde Qdx = es la cantidad demandada del bien o servicio. P = precio del bien o servicio. I = ingreso del consumidor. G = gustos y preferencias. N = número de consumidores. Ps = precio de bienes sustitutos. Pc = precio de bienes complementarios. La demanda puede ser expresada gráficamente por medio de la curva de la demanda. La pendiente de la curva determina cómo aumenta o disminuye la demanda ante una disminución o un aumento del precio. Este concepto se denomina la elasticidad de la curva de demanda. curva de la demandaprecioelasticidadcurva de la demandaprecioelasticidad Ley de la Demanda Siempre y cuando no se modifiquen los demás factores determinantes la cantidad que se demanda de un bien en el mercado varía en razón inversa a su precio. factores Fuente: Wikipedia

EJEMPLOS y CONTRAEJEMPLOS DE FUNCION HECHOS EN LA PIZARRA