FUNCIONES ELEMENTALES

Presentación del tema: "FUNCIONES ELEMENTALES"— Transcripción de la presentación:

1 FUNCIONES ELEMENTALES

2 CONTENIDOS MÍNIMOS Resolución de problemas e interpretación de fenómenos sociales y económicos mediante funciones. Funciones reales de variable real. Expresión de una función en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas. Características de una función. Interpolación y extrapolación lineal y cuadrática. Aplicación a problemas reales. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones reales de variable real: polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera, y racionales e irracionales sencillas a partir de sus características. Las funciones definidas a trozos.

3 x f(x) f(x) es único para cada x Domf
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y f: R R x f(x) f(x) es único para cada x Domf Recuerda que una función puede venir expresada como un enunciado: “gano 3€/hora”, una expresión algebraica: “y = 3x”, una tabla de valores o una gráfica.

4 TIPOS DE FUNCIONES Funciones polinómicas Funciones racionales
Funciones radicales Composición de funciones Función inversa Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Función valor absoluto Función parte entera Funciones trigonométricas Funciones definidas a trozos

5 TIPOS DE FUNCIONES

6 ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN Hacer el estudio de una función consiste en analizar sus características

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8 ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN DOMINIO a partir de su expresión algebraica:
Polinómica: Estas expresiones están definidas para todos los números reales: Domf = R. Racional: Un cociente no está definido cuando el denominador es 0 Irracional: Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos. Logaritmos: solo están definidos para números reales positivos. Razones trigonométricas de seno y coseno: siempre están definidas. La tangente: no está definida cuando el coseno es cero. Además debes tener en cuenta: El contesto real del que se ha extraído la función (ejemplo: el área de un terreno) Dónde ha sido definida la función (ejemplo: la recta y = 3x – 8 definida en el intervalo x e (-1, 5] es un segmento rectilíneo)

9 FUNCIONES POLINÓMICAS Función afín
Estudio Su gráfica es una línea recta: m = pendiente n = ordenada en el origen ( si n = 0 la recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal o de proporcionalidad directa) Dominio: R Recorrido: R si m no es 0 / n si m = 0 Monotonía: Si m > 0 la recta es creciente Si m < 0 la recta es decreciente Si m = 0 la recta es constante

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11 FUNCIONES POLINÓMICAS Función afín
Pendiente: aumento o disminución que se produce en la y cuando x aumenta una unidad Ecuación punto pendiente: Ecuación general: Ecuación explícita: Gráfica: es suficiente con pintar dos puntos siendo uno de ellos la ordenada en el origen

12 FUNCIONES POLINÓMICAS Función afín
Ejemplo: el beneficio de una empresa es la diferencia entre las ventas y los costos. BENEFICIO = VENTAS - COSTOS - VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad. VENTAS = PRECIO x CANTIDAD - COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable. COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD. (El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica) ¿Cuál sería el ingreso o beneficio para 300 unidades? BENEFICIO = PRECIO * CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL * CANTIDAD ) Beneficio: 25 * cantidad – ( * cantidad)

13 FUNCIONES POLINÓMICAS Función afín
Interpolación lineal: Si de una función conocemos solamente dos de sus puntos, es claro que nada o casi nada podremos decir de su comportamiento en otros puntos. Sin embargo, si pudiéramos suponer que entre esos dos puntos la función es lineal, podríamos hallar exacta o aproximadamente sus valores en puntos intermedios valiéndonos de la ecuación de una recta. Supongamos que la función que pasa por los puntos A(x0, x1), B(y0, y1) es lineal en el intervalo [x0, x1], entonces podemos hallar su valor para cualquier abscisa, x, de este intervalo:

14 FUNCIONES POLINÓMICAS Función afín
Extrapolación lineal: x es exterior al intervalo [x0, x1]. En la extrapolación, cuanto mas alejado esté x del intervalo, menos fiable es el valor que obtenemos para f(x). Ejemplo: si colgamos de un muelle una pesa de 40g, se estira hasta 12mm. Y si colgamos una pesa de 60g, se estira hasta 20mm. ¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 55g? ¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 100g? (resultado razonable) ¿Y si la pesa fuera de 5kg? (el muelle se deforma o se rompe. Es un disparate)

15 Ejemplo: seleccionar los valores máximo y mínimo que se usaran…
Valor Mínimo 2 200 Valor Intermedio 2.5 187.5 Valor Máximo 3 175 Valor Minimo .6 280 Valor Intermedio 2.5 Valor Maximo 3.25 170

16 FUNCIONES POLINÓMICAS Función cuadrática
Estudio Su gráfica es una parábola con vértice el punto: eje de simetría la recta: Dominio: R Simetría: si b = 0 es par Si a > 0 la parábola es convexa y el vértice es un mínimo. Si a < 0 la parábola es cóncava y el vértice es un máximo Puntos de corte con los ejes: Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax2 + bx + c = 0, y corta al eje Y en el punto (0, c)

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19 FUNCIONES POLINÓMICAS Función cuadrática
Traslación vertical y = ax2 + c La parábola y = ax2 + c es una traslación vertical de c unidades de la parábola y = ax2 -Si c > 0, la traslación es hacia arriba. -Si c < 0, la traslación es hacia abajo. Traslación horizontal y = a(x – p)2 La parábola y = a(x – p)2 es una traslación horizontal de p unidades de la parábola y = ax2 - El eje de simetría es la recta x = p - El vértice es el punto V(p, 0) Traslación horizontal y vertical y = a(x – p)2 + k La parábola y = a(x – p)2 + k es una traslación horizontal de p unidades de la parábola y = ax2 y una traslación vertical de k unidades, o viceversa. - El vértice es el punto V(p, k)

20 Traslación vertical Traslación vertical

21 RESUMEN TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
Representación de y = f(x) + k, y = f(x) – k es una traslación de f(x) hacia arriba o hacia abajo respectivamente. Representación de y = -f(x) es la simétrica de f(x) respecto del eje X. Representación de y = f(x - k), y = f(x + k) es una traslación k unidades hacia la derecha o hacia la izquierda. Representación y = f(-x) es la simétrica de f(x) respecto del eje Y.

22 FUNCIONES POLINÓMICAS Función cuadrática
Hallar la ecuación dada una gráfica: a) El coeficiente a es el valor que aumenta o disminuye la ordenada y cuando la abscisa x aumenta una unidad desde el vértice. b) El coeficiente b se halla despejándolo en la fórmula del eje de simetría: c) El coeficiente c es la ordenada del punto donde la parábola corta al eje Y

23 FUNCIONES POLINÓMICAS Función cuadrática
Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos (dinero que entra) y los costos de producción (dinero gastado). Ejemplo: supongamos que las ganancias de una empresa vienen dadas a partir de la siguiente ecuación: P = -20s2 + 1400s – 12000

24 FUNCIONES POLINÓMICAS Interpolación cuadrática
Interpolación cuadrática: El error en la interpolación lineal se debe a que se aproxima a una curva mediante una línea recta. Para corregir este error se debe hacer uso de un polinomio de segundo grado: P(x) = ax² + bx + c Si conocemos tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) no alineados de una función de la que desconocemos su expresión algebraica, podemos calcular el valor de la función en un punto x ∈ [x0, x2] mediante la expresión: f(x) = ax2 + bx + c imponiendo que pasa por los tres puntos y resolviendo el sistema de tres ecuaciones que se forma.

25 FUNCIONES POLINÓMICAS Extrapolación cuadrática
Extrapolación cuadrática: cuando el valor que queremos calcular está fuera del intervalo conocido, pero muy próximo a él, se llama extrapolación.

26 FUNCIONES POLINÓMICAS Función de grado >2
Estudio Dominio y recorrido: R Es continua en todo el dominio. Su gráfica es una curva con un máximo de n-1 extremos relativos.

27 ax3

28 ax3

29 Grado 4 Grado 5

30 FUNCIONES RACIONALES Función de proporcionalidad inversa
Estudio Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas. Dominio: Ramas: Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio. Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio. Simetría: impar, respecto del origen de coordenadas

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33 FUNCIONES RACIONALES Función de proporcionalidad inversa
En la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, k es el área del rectángulo cuyos vértices opuestos son un punto cualquiera P(x, y) de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas. La constante k es positiva si la hipérbola es decreciente, y es negativa si la hipérbola es creciente.

34 FUNCIONES RACIONALES Hipérbolas trasladadas
La hipérbola se traslada según los parámetros a y b: Traslación horizontal de a unidades. La asíntota vertical es la recta y = a. Traslación vertical de b unidades. La asíntota horizontal es la recta x = b.

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36 FUNCIONES RACIONALES

37 FUNCIONES RACIONALES Estudio Dominio:
Asíntotas: en los ejes coordenados. Ramas: Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el segundo cuadrantes. Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el tercer y el cuarto cuadrantes. Simetría: Par, respecto del eje OY.

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39 FUNCIONES RACIONALES General
Estudio Dominio todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asíntotas verticales u oblicuas. Asíntotas: Puede presentar una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual al del denominador. También tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del denominador. Las posibles asíntotas verticales provienen de las raíces del denominador. Para un mejor estudio de las asíntotas es necesario el conocimiento de límites de funciones.

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42 FUNCIONES RADICALES (funciones irracionales)
Estudio Dominio: Si n es par: el intervalo en el que Si n es impar: Monotonía: Creciente en todo su dominio (Para que sea función consideramos solo uno de los resultados, el positivo o el negativo) El periodo de un péndulo T (tiempo de una oscilación) en función de su longitud l: T =

43 n par

44 n impar

45 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La expresión (g o f )(x) se lee como f compuesta con g de x. Para nombrarla se comienza por la función de la derecha, porque es la primera que actúa sobre la variable x. En general, (g o f )(x) es distinto que (f o g)(x).

46 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

47 FUNCION INVERSA O RECÍPROCA
Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto a la recta y = x. Por tanto, se cortan en ella. Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de y ha de corresponder a un único valor de x. Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa.

48 FUNCION INVERSA O RECÍPROCA

49 FUNCIONES EXPONENCIALES
Estudio Dominio: Recorrido: Como a0 = 1, la función pasa siempre por el punto (0,1). Como a1 = a, la función pasa siempre por el punto (1,a). Monotonía: son continuas y convexas Si a>1: creciente.(Su crecimiento es muy rápido, superando incluso a cualquier función potencia) Si 0<a<1: decreciente. Asíntotas: asíntota horizontal en y = 0 (eje X) Observa que las funciones f1(x)=ax y f2(x)=(1/a)x cumplen que f1(-x)=f2(x) y por tanto son simétricas respecto al eje Y

50 Si a>1 x y -4 1/16 -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 1 2 4 3 8 16

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52 Si 0<a<1 x y -4 16 -3 8 -2 4 -1 2 1 1/2 1/4 3 1/8 1/16

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54 EJEMPLOS FUNCIONES EXPONENCIALES
Podemos encontrar varios ejemplos en la página 133 del libro de texto de Anaya. Ejemplo 1: Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacio de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día? 2x siendo x el tiempo en minutos. En un día se producen 7, Ejemplo 2: Interés compuesto (Crece si el rédito es positivo y decrece si el rédito es negativo)

55 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Estudio Dominio: Recorrido: Como loga1 = 0, la función pasa siempre por el punto (1,0). Como logaa = 1, la función pasa siempre por el punto (a,1). Monotonía: continuas Si a>1: creciente (cóncavas) Su crecimiento es muy lento, tanto mas cuanto mayor sea a. Para valores grandes de x toma valores mucho menores que los de cualquier función raíz. Si 0<a<1: decreciente (convexas) Asíntotas: asíntota vertical en x = 0 (eje Y).

56 Si a>1 x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y -3 -2 -1 3

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58 Si a<1 x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y 3 -1 -2 -3

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60 EJEMPLOS FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Ejemplo: en psicología tiene gran importancia el estudio de percepciones. El individuo percibe la luz, olores, etc. La percepción depende (es función) de los estímulos físicos. Por ejemplo, hablemos de la iluminación, I, y la percepción, S, que aprecia un individuo. La relación entre las dos variables viene dada por la ley psicológica o la ley de Weber-Fechner: siendo C una constante. Para valores pequeños de I el individuo aprecia pequeños cambios. Pero cuanto mayor sea I mayores tiene que ser los cambios para que se aprecien.

61 La función exponencial y la función logarítmica son inversas, por lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, y = x. Si a > 1

62 Simetría de las funciones inversas si 0 < a <1

63 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS seno, coseno y tangente
CONCEPTOS BÁSICOS: Circunferencia goniométrica: circunferencia de radio 1 donde trazamos unos ejes coordenados XY con origen en el centro de la circunferencia. Unidades de medida: la medida habitual de ángulos es en grados. Sin embargo, para representar las funciones trigonométricas es muy útil otra unidad de medida de ángulos: el radián. El valor de un ángulo en radianes es igual a la longitud del arco correspondiente medido sobre la circunferencia goniométrica. Por ejemplo, un ángulo de 180º serían radianes.

64 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS seno, coseno y tangente
Supongamos un punto P que recorre dicha circunferencia. Función seno: si es el ángulo de giro, se llama seno de , y se expresa sen a la distancia de punto P al eje X. (función que relaciona la longitud recorrida por un punto P al girar y la altura a la que se encuentra P respecto al radio de la circunferencia goniométrica). Si el punto queda encima de X la distancia es positiva y si queda debajo de X es negativa. Función coseno: se llama coseno de y se designa cos , a la abcisa de P, es decir, a su distancia al eje Y. Será positivo si esta a la derecha del eje Y y negativo sui está a la izquierda. RELACIÓN FUNDAMENTAL:

65 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS seno, coseno y tangente
Otras relaciones: Función tangente: trazamos una recta t tangente a la circunferencia goniométrica perpendicular al eje de abcisas X. Al prolongar el segundo lado del ángulo de giro o su semirrecta opuesta, corta a la recta t en un punto. Se llama tangente de y se designa tg , a la distancia entre el eje de abcisas X y el punto de corte. Será positiva si el punto de corte está sobre el eje X y negativa si está por debajo de este. Los ángulos de 90º y 270º no tienen tangente, pues ni el segundo lado del ángulo ni la semirrecta opuesta cortan a la recta t.

66 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS seno, coseno y tangente
Por la semejanza de triángulos podemos definir la tangente como: Aplicaciones de la trigonometría: 1. Cálculo de longitudes y áreas 2. Cálculo de distancias a puntos inaccesibles

67 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno
Estudio Dominio: Recorrido: Monotonía: Periodicidad: función periódica de periodo 2π radianes ya que Creciente en Decreciente Por lo tanto sólo es necesario estudiarla en el intervalo Extremos: Simetría: impar. Máximo en Mínimo en

68 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno

69 Función seno: transformaciones
Traslaciones verticales

70 Función seno: transformaciones
Dilataciones y contracciones

71 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función coseno
Estudio Dominio: Recorrido: Monotonía: Periodicidad: función periódica de periodo 2π radianes ya que Creciente en Decreciente en Por lo tanto sólo es necesario estudiarla en el intervalo Extremos: Máximo en Mínimo en Simetría: par.

72 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función coseno
Teniendo en cuenta la relación , la gráfica del coseno coincide con la gráfica del seno desplazada /2 a la izquierda. Produciéndose traslaciones, dilataciones y contracciones de forma similar a lo visto en la función seno.

73 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función tangente
Estudio Dominio: Recorrido: Monotonía: Creciente Periodicidad: función periódica de periodo π radianes ya que Asíntotas: Verticales en Por lo tanto sólo es necesario estudiarla en el intervalo Simetría: impar.

74 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función tangente

75 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Se denomina así la función que a cada número real hace corresponder su valor absoluto. Se puede expresar también como una función definida a trozos Estudio Recorrido: Puesto que el valor absoluto de un número es siempre positivo el recorrido de una función con valor absoluto estará incluido en los

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77 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
De un polinomio A trozos: Para establecer los intervalos en los que P(x) tiene signo negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y estudiar el signo de P en cada uno de los intervalos en los que queda dividida la recta real. Para dibujar su gráfica, se dibuja normalmente y después se hace la simetría respecto del eje horizontal en aquellos tramos en los que la función sea negativa.

78 Ejemplo Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P. Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.

79 La gráfica sería:

80 FUNCIÓN PARTE ENTERA Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él. Se puede expresar también como una función definida a trozos

81 f(x)=E[x]

82 FUNCIÓN PARTE DECIMAL La parte decimal o mantisa de un número x es
Mant(x) = x – Ent(x) A partir de esto, definimos la función decimal de x, Mant(x), que hace corresponder a cada número x su parte decimal.

83 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Definición: “Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas”. Para dibujar las funciones a trozos tendremos que representar cada una de las partes de las que está compuesta teniendo en cuenta, además, que solo tienen validez en el intervalo en el que están definidas.

84 Ejemplo 1:

85 TRAMO I

86 TRAMO II

87 TRAMO III

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89 Ejemplo 2:

90 TRAMO I

91 TRAMO II

92 TRAMO III

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