Variables Aleatorias Unidimensionales Definición 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestral asociado a E. Entonces una función X, que a cada elemento del espacio muestral, le asocia un número real, recibe el nombre de variable aleatoria. X : S R si X(si)= xi Prof. David Becerra Rojas

Variables Aleatorias Unidimensionales Definición 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorrido de la v.a. X, y lo denotaremos por Rx, al conjunto de todos los valores que toma la v.a. X. Rx = {xi  R / X(si) = xi , si  S } S R Rx X s1 s2 : si x1 x2 : X(si)=xi Prof. David Becerra Rojas

Variables Aleatorias Unidimensionales Definición 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorrido de la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable, entonces diremos que X, es una v.a. Discreta. Definición 4: Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor que toma la variable (xi Rx), le asociaremos un número p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones: Prof. David Becerra Rojas

Definición 5: Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, sea Rx, el recorrido de la variable aleatoria X y sea B  Rx. Entonces Si definimos A = { s S / X(s) = x B }, entonces, diremos que A y B son equivalentes, A  B y P(A) = P(B) S Rx A B s1 s2 s3 si x1 x2 xi Prof. David Becerra Rojas

Ejemplo: Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registra el signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestral S = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : número de sellos que aparecen. En este caso el recorrido de la v.a. Será Rx = {0, 1, 2} S Rx X X(cc) = x1=0 X(cs) = X(sc) = X(ss) = x3=2 cc cs sc ss } x2=1 Prof. David Becerra Rojas

p(x1) = P(X = x1) = p(0) = P(X=0) = P(cc) = 1/4 Luego: p(x1) = P(X = x1) = p(0) = P(X=0) = P(cc) = 1/4 p(x2)= P(X = x2) = p(1) = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2 p(x3) = P(X = x3) = p(2) = P(X=2) = P(ss) = 1/4 Por lo tanto: p(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1 De la definición 5 tenemos: Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1}  P(A) = P(B) = ¾ Prof. David Becerra Rojas

Ejercicio De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) se Seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasifican según el sexo. Determine: a.- el espacio muestral b.- la probabilidad de que ambas sean mujeres c.- la prob. que el número de mujeres seleccionadas sea 2 d.- la prob. que el número de mujeres sea al menos una Para las preguntas c) y d) determine previamente: la variable aleatoria X, y el recorrido de X (Rx) Prof. David Becerra Rojas

Ejercicio: Sea la variable aleatoria X: mes en que un computador tiene problemas. , k = 1,2,3,4,5,6 Determine: 1.- el valor de C 2.- p( 5 ) = P( X = 5 ) 3.- P( X  2 ) = Recordar: Prof. David Becerra Rojas

1.- De la condición ii.- tenemos : Luego Esto quiere decir que: Prof. David Becerra Rojas

b.- c.- Prof. David Becerra Rojas

Proposición: i.- La Función P, se denomina Función de Probabilidad ii.- El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribución de Probabilidad En realidad, la Distribución de Probabilidad, es la gráfica de la Función de Probabilidad. p(xi) xi Prof. David Becerra Rojas

Ejercicio: Sea A : El camión llega a destino sin problemas _ y sea B : El camión no llega a destino sin problemas . B = A Luego el espacio muestral S, será: Supongamos que la probabilidad de que un camión de trasporte llegue a destino sin problemas es de 0.57 ( es decir en el 57% de los casos). Supongamos además que es posible enviar una gran cantidad de camiones. El envío continua hasta que llega el primer camión a destino sin problemas. Determine la probabilidad de que el número de envíos necesario para que llegue el primer camión sin problemas, sea k (k = 1,2,3...) Previo Determine: a.- Espacio muestral b.- La variable aleatoria X c.- Recorrido de la v.a. X. S = { A, BA, BBA, BBBA,.....} X : Nº de envíos necesarias para que llegue el primer camión a destino sin problemas. Rx = {1, 2, 3, 4, ......} Prof. David Becerra Rojas

p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57) Recordando; S = { A, BA, BBA, BBBA,.....} Rx = { 1 , 2 , 3 , 4 , .........} Según el diagrama del árbol tenemos: A B 0.57 0.57 0.57 0.43 0.57 0.43 0.43 Luego; p(1) = P(X=1) = P(A) = (0.57) p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57) p(3) = P(X=3) = P(BBA) = (0.43)2 (0.57) p(4) = P(X=4) = P(BBBA) = (0.43)3(0.57) Por consiguiente tenemos que: p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3...... 0.43 .............................. Prof. David Becerra Rojas

Debemos demostrar que : p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3...... es efectivamente una función de probabilidad, es decir, que debe cumplir con: Prof. David Becerra Rojas

Ejercicio Respecto al ejemplo anterior, supongamos que se envían 3 camiones, independientemente. Determine: a.- Espacio muestral b.- la probabilidad de que el número de camiones que llegue a destino sin problemas se k . Previo: Determine el espacio muestral, la Variable Aleatoria X, y el recorrido Rx. Prof. David Becerra Rojas

Distribución Binomial Def.: Sea E un experimento y sea A un suceso asociado a E. Supongamos que P(A) = p, luego P(A) = 1 – p. Consideremos n repeticiones independientes del experimento E. Por lo tanto el espacio muestral del experimento total, estará Dado por todas las sucesiones posibles tal que ocurra A o A . Si la v.a. X se define como: Número de veces que ocurre el suceso A, diremos que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p, y la denotaremos: X ~ b(n , p ) Prof. David Becerra Rojas

Distribución Binomial y su función de probabilidad está dada por: Con k = 0,1,2,3,……….n Prof. David Becerra Rojas

Distribución de Bernoulli Si el experimento se realiza una sola vez, la variable X tomará los valores 0 y 1, y se dice que tiene una distribución de Bernoulli con parámetros 1 y p. X ~ B(1 , p ) Con k = 0,1 Prof. David Becerra Rojas

Distribución de Poissón Sea X una v.a.d., si su función de probabilidad está dada por: ! Entonces diremos que X tiene una distribución de Poissón con parámetro . Se anota: ( media  y varianza  ) X ~ P() Prof. David Becerra Rojas

Variables Aleatorias Continuas (vac) Supongamos que X es una v.a. cuyo recorrido Rx, son todos los números reales. Si definimos una función y si cumple con las siguientes condiciones: Entonces diremos que X es una v.a.c. con función de densidad de Probabilidad (f.d.p.) f Prof. David Becerra Rojas

Observaciones 1.- f(x) no es una probabilidad, como en el caso discreto, donde p(x) = P(X = x ). 2.- Las siguientes probabilidades, son equivalentes: P(a  x  b) = P(a < x  b) = P(a  x < b) = P(a < x < b) Esto implica que P(X = k ) = 0 Prof. David Becerra Rojas

Observaciones a b Prof. David Becerra Rojas

{ Ejemplo f(x) = 1.- Determine el valor de k 2.- Grafique la función f Sea X una variable aleatoria continua (vac), con función de densidad de probabilidad “f”(fdp). Talque: { f(x) = 1.- Determine el valor de k 2.- Grafique la función f 3.- Calcule P( x  1/2 / 1/3  x  2/3) Prof. David Becerra Rojas

Función de Distribución Acumulativa Def. : Sea X una variable aleatoria se define función de distribución acumulativa o función de distribución como: { Si X v.a.d. F(x) = P( X ≤ x ) = Si X v.a.c. Prof. David Becerra Rojas

Valor Esperado de una Variable Aleatoria Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Valor esperado o Esperanza de X como: Si X v.a.d. { E ( x ) = Si X v.a.c. Prof. David Becerra Rojas

Varianza de una Variable Aleatoria Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Varianza de X como: V(x) = E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2 Donde : { Si X v.a.d. E ( x2 ) = Si X v.a.c. Prof. David Becerra Rojas

Tarea Nº ___ Propiedades de la Esperanza Propiedades de la Varianza Si X ~ b(n,p), determine la E(X) y V(X) Si X ~ P(), determine la E(X) y V(X) Demostrar que : E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2 Prof. David Becerra Rojas

Ejemplo: 1.- Sea X v.a.d. con función de probabilidad dada por: xi 1 2 3 4 5 Total p(xi) 0.2 0.25 0.32 0.08 0.15 1.00 F(xi) 0.2 0.45 0.77 0.85 1.00 //// 2.73 xip(xi) 0.2 0.50 0.96 0.32 0.75 E(X) x2ip(xi) 0.2 1.00 2.88 1.28 3.75 9.11 E(X2) Determine : a.- Función de Distribución Acumulativa b.- Esperanza de X ( E(X) ) c.- Varianza de X ( V(X) ) d.- Grafique F(X) = 2.73 = E ( x2 ) – ( E (x) )2 = 9.11 – (2.73)2 = 1.6571 Prof. David Becerra Rojas

{ Gráfica de F(x) F(x) = 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 1 2 3 4 5 x F(x) Prof. David Becerra Rojas

2.- Sea X v.a.c. con función de densidad de probabilidad dada por . Determine : a.- Función de Distribución Acumulativa F(x) b.- Esperanza de X E(x) c.- Varianza de X V(x) Prof. David Becerra Rojas

La función f(x) y F(x), están dadas por: 1 f(x) 2 0 1 0 1 Prof. David Becerra Rojas

Distribución Normal Entonces, diremos que X tiene una distribución Sea X una v.a.c. si su fdp está dada por: Entonces, diremos que X tiene una distribución Normal con media  y varianza 2. Se denota: X ~ N( , 2 ) Prof. David Becerra Rojas

Características Tiene forma de campana ( por su descubridor es también llamada campana de GAUSS) Es simétrica con respecto a su media () Es asintótica al eje horizontal. A +/- tres desv. típicas de la media, se encuentra prácticamente el 99.8% de su área ( +/- 3  )  - 3    + 3  Prof. David Becerra Rojas

Teorema Central del Limite Sea X ~ N( , 2 ) entonces, ~ N(0 , 1 ) X Z  Prof. David Becerra Rojas

Ejercicio Supongamos que en un estadio lleno, el 40% de los asistentes son mujeres. Una empresa comercial, realiza para promocionar un nuevo producto, toma una muestra de tamaño 20. Determine la probabilidad quer la muestra contenga: 1.- exactamente 11 mujeres. 2.- a lo más 8 mujeres. 3.- al menos 5 mujeres. 4.- exactamente 9 hombres. Prof. David Becerra Rojas

la variable aleatorio X: el recorrido Rx : Previo: Determine el experimento E el espacio muestral s: el suceso de interés A la probabilidad de A el espacio muestral S: la variable aleatorio X: el recorrido Rx : Se elije al azar una persona = { A , B } la persona es mujer p = P(A) = 0.40 ={A...A,.A..B,…..,B…B} Nº de mujeres seleccionadas = {0,1,2,….,20} Luego: 1.- P(X = 11) = P(X 11) – P(X 10) por tabla 2.- P(X  8) = 0.596 directo por tabla 3.- P(X  8) = 1 – P(X  7) = 1 – 0.416 = 0.584 Prof. David Becerra Rojas