La Socioepistemología como una Escuela del Pensamiento en el campo de la matemática educativa Ricardo Cantoral Uriza Cimate – FM, UAG (08.05 – 07.06) DME – Cinvestav, IPN M É X I C O

Ricardo Cantoral Uriza miembro de la red de Cimates M É X I C O http://cimate.uagro.mx/cantoral Ricardo Cantoral Uriza miembro de la red de Cimates M É X I C O

Escuela de Pensamiento Entendemos que una Escuela de Pensamiento está en curso de constitución, cuando un colectivo humano acepta compartir y negociar significados, usos y explicaciones de las nociones, conceptos, procedimientos, marcos teóricos y sistemas de validación. Comunicación oral de Rosa María Farfán (Relme).

Escuela Socioepistemológica La aproximación teórica que será abordada en esta conferencia, plantea el problema de la construcción social del conocimiento desde un punto de vista socioepistemológico. A la cuestión teórica general de cómo construimos nuestros sistemas conceptuales, la aproximación socioepistemológica contesta en tres planos…

Socioepistemología El primero trata sobre la naturaleza misma del saber. Hablar del saber no se limita, en esta perspectiva, a definir la relación que este guarda con los objetos matemáticos, sino a posicionar al ser humano – en sus distintas dimensiones – en el acto mismo de construcción de sus sistemas conceputales. AH.

Socioepistemología El segundo plano se ocupa de la práctica social como normativa de la actividad humana y como base de la construcción de nuestros sistemas conceptuales. Hablar de práctica social no se limita a caracterizar lo que el ser humano hace, sino a problematizar las causas del por qué lo hace… ¿Qué me/nos hace hacer lo que hago/hacemos…?

Elementos de la Socioepistemología El tercer plano, el plano teórico, se ocupa de caracterizar las articulaciones, con una fuerte evidencia empírica, de nociones, procesos y términos del modelo. Actividad, Práctica, Práxis, Práctica Social, Discurso Matemático Escolar, funciones Normativa, Pragmática y Relfexiva de la Práctica Social. Proceso de institucionalización…

Las navajas no hacen a la tijera

Organización en secciones Parte 1 – Ejemplo de una investigación socioepistemológica del origen social de los significados en variable compleja… de los emergentes. Parte 2 – Nociones a teorizar Actividad humana y práctica social Práctica, Praxis y Práctica Social Práctica de referencia y contexto Función normativa de la Práctica Social Parte 3 – Sobre todo, debemos articular dichas nociones… localizar la pertenencia, subordinación, recurrencia, independencia o filiación… entre nociones AH « Px « PS

RDM – Recherches en Didactique des Mathématiques La sensibilité à la contradiction: une étude sur la notion de logarithmes à nombres négatifs et l’origine de la variable complexe por Ricardo Cantoral et Rosa María Farfán Cinvestav IPN - Mexique

RDM – Recherches en Didactique des Mathématiques La sensibilidad a la contradicción: Un estudio sobre la noción de logaritmo de números negativos y el origen de la Variable Compleja por Ricardo Cantoral y Rosa María Farfán Cinvestav IPN - México

Socioepistemología Aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar los fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una perspectiva social, al incorporar al estudio de las interacciones entre epistemología del conocimiento, con su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos que le son asociados y los mecanismos de institucionalización vía su enseñanza.

Estructura del acercamiento metodológico Cognitiva Social Socioepistemología Actividad humana S O Epistemológica Didáctica

Postura socioepistemológica Tradicionalmente, las aproximaciones epistemológicas asumen que el conocimiento es el resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias empíricas, ignorando el papel que los escenarios históricos, culturales e institucionales desempeñan en la actividad humana al momento de producir un conocimiento. La socioepistemología por su parte, plantea el examen del conocimiento social, histórica y culturalmente situado.

Postura socioepistemológica El carácter situado de la socioepistemología… obliga, a la aproximación teórica, al empleo de un relativismo permanente. Pues sus procesos, nociones, constructos, enfoques, resultados, procedimientos y técnicas serán: situados, intencionales y relativos, en ese sentido serán, invariablemente … normados por emergentes sociales

Esta aproximación teórica ... está en pleno de desarrollo por parte del grupo nacional de investigación que nace en y del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN. Dicho acercamiento incorpora, de manera sistémica relativista, cuatro componentes con el fin de desarrollar los pensamientos matemáticos entre las y los ciudadanos.

La Variable Compleja En este estudio hemos encontrado que nuestro acercamiento teórico, resulta útil al momento de interpretar el proceso de construcción social del conocimiento matemático avanzado y de su difusión institucional. En particular, las formas en que diversas nociones como función multiforme, logaritmos complejos e igualdad entre conjuntos e integración compleja pueden ser explicadas mediante la aproximación socioepistemológica.

Postura de Leibniz Al momento del debate epistolar entre Leibniz y Bernoulli, los logaritmos poseían una definición satisfactoria para los números positivos y las reglas de su operación habían sido adecuadamente desarrolladas. Empero, la concepción de número negativo, restaba aún incompleta. Por ejemplo, Leibniz, para invalidar la existencia de los números negativos argumenta: “si existiera log(1) sería igual a la mitad de log(1) una conclusión que considero absurda”.

“como dx/xdx/x entonces integrando se tiene que log(x)log(x)”. Postura de Bernoulli Bernoulli por su parte al refutar el argumento de Leibniz ofrece una extensión por simetría: “como dx/xdx/x entonces integrando se tiene que log(x)log(x)”. … pretende mostrar que la extensión de los logaritmos a los números negativos, no debe requerir de la consideración de los números complejos.

Leibniz y Bernoulli En ambas posturas, se trató de mantener bajo control a los procedimientos matemáticos aceptados previamente, pues se les confirió a un dominio que brindara una cierta certidumbre. De modo que ambos prefirieron tratar con magnitudes reales antes que explorar la extensión a las magnitudes complejas.

Euler y Bernoulli Con la controversia entre ellos, se inicia un debate sobre la noción de función multivaluada. Mientras Euler apuntaba hacia el surgimiento de un aparato teórico novedoso que incluyera la extensión de la noción de igualdad del álgebra básica a la igualdad entre conjuntos, al tratar el tema de las constantes de integración y de las infinitas soluciones de una ecuación algebraica de grado infinito, Bernoulli sostenía la necesidad de conservar el cuerpo teórico clásico de las variables reales.

La aceptación de los números complejos De este modo inició el proceso de construcción social de la variable compleja, proceso que precisó de casi trescientos años para aceptar a los complejos, primero como números y luego como variables, mientras que en sólo treinta años desarrolló las bases teóricas de la variable compleja o Análisis Complejo. Una proporción interesante: 300 : 30 : : 10 : 1

Obstáculos para la extensión En este caso, varias nociones obstaculizan la extensión del dominio de definición, como la que entonces se disponía para el número negativo y las diversas explicaciones sobre la naturaleza de los números complejos. Se podía manipular algebraicamente, pero no había, una clara noción sobre su significado y sobre el papel de las operaciones, un acuerdo sobre las reglas para su operatividad. Este episodio podría ser explicado con el emergente social de convención –matemática- socioepistemológica que utiliza Gustavo Martínez – Sierra.

Ruptura socioepistemológica El asunto de los logaritmos de números negativos planteó una ruptura de corte socioepistemológico, puesto que sus resultados no venían de la confrontación del modelo teórico con la realidad circundante; sino de la utilización de criterios -más o menos generales- que dieran coherencia a un aparato teórico socialmente aceptado, institucionalizado, con estructura lógica específica que permitía decidir sobre la validez de conclusiones diversas sin necesidad de apelar al mundo físico.

Los logaritmos en la escuela son para números positivos Cuando exponemos el tema de logaritmos en alguno de nuestros cursos, usualmente decimos – dependiendo del nivel de escolaridad del alumno- que si a y b son números positivos logabN si aNb, o bien, el logaritmo es una función que a cada x positiva le asocia la integral de 1 a x de la hipérbola equilátera

Institucionalización del saber Aunque la maestra es quien plantea la pregunta, apoyándose en la asimetría tradicional de los roles en el aula, para legitimar una temática de estudio, los alumnos y las alumnas se resisten a aceptarla como válida, pues no ha sido institucionalmente – desarrollada por Francisco Cordero en la Mesa 2- presentada en clase, no se provee, al menos, de una definición ni de las reglas de operación pertinentes.

Discurso y verdad Si bien la pregunta, ¿a qué será igual el logaritmo de un número negativo?, es un llamado a la reflexión compartida, a la exploración de una afirmación que les resulta legible al utilizar formas verbales válidas del discurso escolar; es a la vez un llamado a la incertidumbre pues no señala una ruta de acción lógica. Dicha resistencia será puesta de manifiesto en la mayoría de las respuestas que los alumnos y las alumnas dan a la cuestión.

Función pragmática y control del conocimiento Este hecho puede explicarse en la medida en que el discurso escolar está lleno de preguntas (situaciones – problema) y la mayoría de estas tienen una función pragmática que dista mucho de las funciones cotidianas de los enunciados interrogativos, las cuales se asocian a pedido de información o, en contextos no transaccionales o a estrategias de cortesía. Se trata de preguntas destinadas a controlar y a hacer explícito el conocimiento que se supone tienen los interlocutores.

El saber matemático pasa a formar parte del discurso matemático escolar, cuando y sólo cuando logra coherencia interna, aunque sea local, respecto del cuerpo teórico disponible y cuando los mecanismos sociales de institucionalización de las prácticas lo permitan. Aprender a usar dicho conocimiento es una función áulica de la mayor importancia. Significa por un lado, saber develar las intenciones didácticas de la maestra y por otro develar las normas que hacen legítima una interpretación. Es aquí donde se plantea una fundamental diferencia entre el discurso escolar y el discurso matemático escolar. Es función del saber cultural institucionalizado, otorgar validez a los hallazgos.

Emergentes sociales Como discutimos, los puntos de vista sobre la aceptación de un nuevo resultado en la clase de matemáticas no son únicos. Estas formas de aceptación no provienen de la lógica interna de la deducción matemática, sino por el contrario, son el producto de una verdadera formación de identidades sociales de las personas, tal es el caso de las relaciones de poder tradicionales, maestro – alumno, texto – maestro, así como las situaciones de resistencia .

La aceptación o la resistencia son más bien, el fruto de la interacción y de las relaciones de poder entre los y las participantes en su juego con el saber. En algunos casos, la resistencia a aceptar la extensión de Bernoulli, obedece a otra forma de relación de poder que bien podría deberse al rol del libro de texto en la clase de matemáticas. La definición de logaritmo de número negativo no había aparecido en ninguno de los libros a los que los alumnos y las alumnas habían tenido acceso. El criterio de verdad no proviene entonces, de la discusión propiamente matemática, sino de la convención institucional en curso de constitución.

Elementos a teorizar Discurso matemático escolar Proceso de institucionalización de los saberes, de las prácticas, de los emergentes. Actividad humana y práctica social Práctica, Praxis y Práctica Social Práctica de referencia (Montiel, 2005) Función normativa de la Práctica Social Sobre todo, debemos articular dichas nociones. Localizar la pertenencia, subordinación, recurrencia, independencia o filiación… entre ellas AH « Px « PS

La función normativa de la Práctica Social. (O. Covián) Vínculo Windows Journal Vínculo Word for Windows Vínculo Acrobat for Windows

Gracias por su atención Ricardo Cantoral rcantor@cinvestav.mx ricardo_cantoral@cimateuagro.mx cimate.uagro.mx/cantoral/ Gracias por su atención