SESION Nº 03

 En la práctica de la ingeniería y ciencias, es muy frecuente él tener que resolver ecuaciones del tipo f(x)=0. En estas ecuaciones se requiere conocer el valor ó valores que hacen cero la ecuación. El procedimiento común a seguir es intentar despejar la variable x. Desafortunadamente, en la mayoría de los casos prácticos esto es virtualmente imposible.  Los valores que hacen que una función y=f(x) sea 0, se conocen con el nombre de raíces ó ceros de la ecuación.  Existen tres tipos de métodos para resolver este tipo de ecuaciones. ◦ Método analítico._ Consiste en despejar la variable x en función de y. ◦ Método gráfico._ Busca trazar la gráfica de y=f(x) ◦ Método numérico._ Genera una sucesión de valores, que se aproxima a la solución, en este caso a la raíz.

 Si en un intervalo cerrado [a,b], la función f(x) es continua y además f(a) tiene signo opuesto al de f(b), es decir, existe un cambio de signo (CS), entonces por lo menos existe una raíz en [a,b].  Ejemplo: Grafique y encuentre los valores que cumplan el Teorema del Cambio de Signo. ◦......

 Este método es de los más antiguos. También se le denomina método de Bolzano, quien fue el primero en proponerlo. Para poder aplicarlo se requieren las siguientes condiciones: ◦ Conocer un intervalo [x 0,x 1 ] que cumpla el TCS. ◦ La raíz debe de ser única. Proceso.- 1.Desarrollamos y 0 =f(x 0 ) y y 1 =f(x 1 ). 2.Hallamos el punto medio: 3.Evaluamos y 2 =f(x 2 ). Entonces se tendrá los intervalos [x 0,x 2 ] y [x 2,x 1 ], para seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x 0,x 2 ]) 4.Luego, buscaremos el siguiente punto medio x 3 y así repetiremos el mismo procedimiento hasta que f(x n )=0 o hasta llegar a un punto de tolerancia según el criterio de convergencia.

 Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16 ◦ Punto Medio (1+2)/2=1.5, luego f(1.5)=2.875 ◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1,1.5] ◦ cc 1 = no existe en la primera iteración.  Para el intervalo [1,1.5]: f(1)= -7 y f(1.5)= ◦ Punto Medio (1+1.5)/2=1.25, luego f(1.25)= ◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.5] ◦ cc 2 = no cumple con la tolerancia.  Para el intervalo [1.25,1.5]: f(1.25)= y f(1.5)= ◦ Punto Medio ( )/2=1.375, luego f(1.375)= ◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.375] ◦ cc 3 = no cumple con la tolerancia.

 Requiere un intervalo que cumpla los mismos supuestos que el método de Bisección. En lugar de obtener el punto medio en cada iteración, el método busca reemplazar la función original por otra a la cual sea más simple localizar su raíz. Proceso.- 1.Desarrollamos y 0 =f(x 0 ) y y 1 =f(x 1 ). 2.Hallamos siguiente punto convergente: 3.Evaluamos y 2 =f(x 2 ). Entonces se tendrá los intervalos [x 0,x 2 ] y [x 2,x 1 ], para seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x 0,x 2 ]). 4.Luego, buscaremos el siguiente punto convergente x 3 y así repetiremos el mismo procedimiento hasta que f(x n )=0 o hasta llegar a un punto de tolerancia según el criterio de convergencia.

 Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16 ◦ Nuevo x = luego f( ) = ◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [ ,2] ◦ cc 1 = no existe en la primera iteración.  Para el intervalo [ ,2] : f( )= y f(2)= 16 ◦ Nuevo x =, luego f( )= ◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [ ,2] ◦ cc 2 = no cumple.  Luego repetimos (iteraciones) el mismo procedimiento hasta que f(x) = 0 ó hasta que cumpla con la tolerancia solicitada. El siguiente cuadro nos muestra los resultados de tales iteraciones.

 La idea de este método es similar a la del método de Regula Falsi. Este método emplea también una línea recta para aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que cumpla el TCS.  Para esto evaluamos la función en x 2 obtendremos y 2 =f(x 2 ). En vez de considerar intervalos, simplemente despreciamos el punto (x 0,y 0 ) y utilizamos el intervalo [x 1,x 2 ].

 Nuevamente usaremos la ecuación de Leonardo. Consideremos como puntos iniciales, el intervalo [1,2]. Iniciando con los puntos (1,-7), (2,16)  Obtenemos con y= Como no se cumple el criterio de convergencia realizamos otra iteración.  Se emplean los puntos (2,16) y ( , ) y se obtiene con y= Como no se cumple el criterio de convergencia realizamos otra iteración.  Se emplean los puntos ( , ) y ( , ) y se obtiene con y = E-3.  El procedimiento se repite hasta alcanzar la convergencia