Ecuaciones diferenciales 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno empleará la teoría fundamental de los sistemas de ecuaciones diferenciales linelaes ordinarias y la representación matricial de los sistemas de primer orden, en la resolución e interpretación de problemas físicos y geométricos

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes ¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales? ¿De dónde pueden surgir? Forma general de un sistema Forma normal de un sistema Notación matricial Problema de valor inicial Comprobación de solución

¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales? Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que deben resolverse simultáneamente. ¿De dónde puede surgir un sistema? Un sistema de ecuaciones diferenciales surge de problemas en donde una sola ecuación diferencial no es suficiente para modelar un problema. Es decir, un sistema surge en problemas donde el modelo matemático requiere conocer el comportamiento de dos o más fenómenos acoplados actuando simultáneamente

Edificio de un nivel sujeto a sismo: una ecuación diferencial

Idealización del edificio: m = masa de la losa k = rigidez de las columnas Q(t) = carga dinámica Fuerza en las columnas debida al desplazamiento

Aplicando la segunda ley de Newton a la masa:

Sustituyendo en la segunda ley de Newton tenemos: Esta es la ecuación diferencial que gobierna el problema Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

Edificio de dos niveles sujeto a sismo: dos ecuaciones diferenciales, una para cada nivel

Idealización del edificio:

Desplazamiento relativo entre las masas:

Fuerzas que actúan en las masas:

Aplicando la segunda ley de Newton a las masas:

El modelo matemático que rige el problema es

Forma general de un sistema lineal de n ED de primer orden

Forma normal de un sistema lineal de n ED de primer orden

Notación matricial de un sistema de primer orden Vector derivada Vector de términos No homogéneos Matriz de coeficientes Vector de funciones incógnitas

Exprese en forma matricial los sistemas siguientes (b)

Problema de valor inicial Sea t0 un punto en un intervalo I, y Donde son constantes dadas. Entonces el problema Resolver: Sujeto a: Es un problema de valor inicial en el intervalo I

Soluciones de sistemas Una solución de un sistema de ED es un conjunto de funciones que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo. Compruebe que los vectores Son soluciones del sistema