Tema 10 * Integrales DEFINIDAS MATEMÁTICAS A. CS II Tema 10 * Integrales DEFINIDAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS ÁREA DE UNA FUNCIÓN Tema 10.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Una de las principales utilidades de la integral definida es el cálculo de áreas de cualquier tipo de curva, sin más que poder extraer de la misma una función primitiva llamada función integral. EJEMPLO_1 Hallar el área que forma la función y = x2 con el eje de abscisas entre x=1 y x=2 2 2 1 3 2 Área = ∫ x dx = [ --- x ] = 1 3 1 = 8/3 - 1/3 = 7/3 u2 Y 4 y = x2 1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Y EJEMPLO_2 Hallar el área que forma la función y = x3 – x con el eje de abscisas entre x=0 y x=1 1 Área = ∫ x3 – x dx = = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = = [ 1/ 4 – 1 / 2 ] = – 1/ 4 Al estar el área pedida por debajo del eje OX, su valor es negativo. Pero como un área no puede serlo, aplicamos el valor absoluto: Área = | – 1 / 4 | = 0,25 u2 y = x3 - x 0 0,57 1 X -0,4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = x3 – x con el eje de abscisas entre x = -1 y x = 2 Si dibujamos la función vemos que presenta tres zonas o regiones de áreas diferentes: La A1 está por encima del eje de abscisas. Al aplicar la Regla de Barrow su valor nos resultará POSITIVO. La A2, ya calculada en el ejemplo anterior, está por debajo del eje de abscisas. Al aplicar la Regla de Barrow su valor nos resultará NEGATIVO. La A3 está por encima del eje de abscisas. Y y = x3 - x A3(+) A1(+) -1 0 0,57 1 2 X A2(-) -0,4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Resolución del EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = x3 – x con el eje de abscisas entre x = -1 y x = 2 0 0 A1 = ∫ x3 – x dx = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = - ¼ + ½ = ¼ -1 -1 1 A2 =| ∫ x3 – x dx |= – ¼ , ya calculado en Ejemplo 2. 2 2 A3 = ∫ x3 – x dx = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = (4 – 2) – (¼ - ½) = 9/4 1 1 Área total = |0,25| + | – 0,25| + |2,25| = 2,75 u2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = ex con el eje de abscisas entre x=0 y x=1 El área pedida será: 1 Área = ∫ ex dx = = [ex] = e1 – e0 = = (e – 1) u2 y = ex Y 1 0 1 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_5 Hallar el área que forma la función y = ln x con el eje de abscisas entre x=0,5 y x = 1,5 Resolución Área = A1(-)+A2(+)= 1 Área =| ∫ lnx dx | + 0,5 1,5 + ∫ lnx dx = 1 1,5 = | [x.lnx – x] | + [x.lnx – x ] = 0,5 1 = |(1.ln 1 – 1) – (0,5.ln 0,5 – 0,5)| + + (1,5.ln 1,5 – 1,5) – (1.ln 1 – 1) = = |(– 1) – (– 0,8466)| + (– 0,8918 – (– 1))= = |– 0,1533| + 0,1082 = 0,2615 u2 Y y = ln x 1 0 0,5 1 1,5 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS EJEMPLO_6 Hallar el área que forma la función x3 + 2 , si x < 0 f(x) = 2 , si 0 ≤ x ≤ 2 – x2 + 3.x , si x > 2 con el eje de abscisas entre x= – 1 y x=3 Preliminares La función debe ser continua en el intervalo [-1, 3] Calculamos su continuidad en los puntos críticos: En x=-1 la función existe y es continua al coincidir sus límites laterales. En x=3 la función existe y es continua al coincidir sus límites laterales. En [-1 , 0] y en [2, 3] las funciones son continuas al ser polinómicas ambas Dibujamos la función Las tres zonas del área son positivas y = x3 +2 y = 2 y = – x2 + 3.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Resolución EJEMPLO_6 Teníamos la función x3 + 2 , si x < 0 f(x) = 2 , si 0 ≤ x ≤ 2 – x2 + 3.x , si x > 2 Nos piden el área entre x= – 1 y x=3 0 0 A1 = ∫ x3 + 2 dx = [ x4/ 4 + 2.x ] = -1 -1 A1 = 0 – ( ¼ – 2) = 1’75 2 2 A2 = ∫ 2 dx = [2.x] = 4 – 0 = 4 0 0 3 3 A3 = ∫ – x2 + 3.x dx = [– x3/ 3 + 3.x2 / 2 ] = 2 2 = (– 27/3 + 27/2) – (–8/3 + 12/2) = = (– 9 + 13,5 ) – (–2,66 + 6) = = 16,16 – 15 = 1,16 Área total = 1,75 + 4 + 1,1666 = 6,9166 u2 y = x3 +2 y = 2 A1 A2 A3 y = – x2 + 3.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS