Prof: Haroldo Cornejo Olivari ÁLGEBRA ELEMENTAL Prof: Haroldo Cornejo Olivari Presione [enter] para próxima diapositiva

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FACTORES DE UNA EXPRESION Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión. Ejemplos: x2 + 2x = x (x + 2) factor factor x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) factor factor Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UNA EXPRESION Es convertir la expresión en el producto compuesto por sus factores Se pueden factorizar tanto los monomios polinomios a través del uso de los productos notables. Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1. Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación. Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando todos los términos tienen un factor común Ejemplos: 10a + 30ax2 = 10 1 a 10 3 a x x +       = 10 a ( ) 1 + 3 x2 En ambos términos Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO 18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2 = 18 m x y y – 18 18 3 m x x x y y + 18 m y y 1               En cada uno de los términos = 18 m y2 ( ) x – 3 x2 + 1 Presione [enter] para próxima diapositiva En todos los términos

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común Ejemplos: 2x (a – 1) – y (a – 1) = (a – 1) (2x – y) factor m (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (m + 1) factor Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando se agrupan los términos factor común Ejemplos: a x + a y + b x + b y ( a x + b x ) + ( a y + b y ) = factor factor = x (a + b) + y (a + b) (a + b) ( ) x + y = Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que: a2 2ab + b2 = (a b)(a b) Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Ejemplos: 4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x) – 2 (2x) (5y) + (5y) 2 2 ( ) = 2x – 5y 2 Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas. Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción. Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Presione [enter] para próxima diapositiva FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Ejemplos: No es un cuadrado perfecto x4 + x2y2 + y4 1 Es un cuadrado perfecto x4 + 2 x2y2 + y4 2 Para llegar de a : 1 2 x4 + x2y2 y4 + x2y2 – x2y2 Se le suma cero y4 x4 2 x2y2 + – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto + = ( x2 + y2 ) ( xy ) 2 – 2 Diferencia de cuadrados = ( x2 + y2 ) – xy ( x2 + y2 ) + xy 2 2

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Trinomios de la forma x2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: y2 – 8y +15 Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Ejemplo: x 2 + 5 x + 6 = ( ) x + 2 ( ) x + 3 + + = +  2 + 3 = 5 Se tiene que buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6 Al multiplicar los signos: 2  3 = 6 Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino distinto de 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: 3a2 + 7a – 6 Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Ejemplo: 6 x2 – 7 x – 3 Se multiplica por el coeficiente de x2 (6) 6 x2 – (6) 7 x – (6) 3    Trinomios de la forma x2 bx c 2 (6x) – 7 (6x) – 18  – – = +  La suma y la multiplicación es entre un número positivo y otro negativo ( ) ( ) 6x – 9 6x + 2 2 – 9 = – 7 2  - 9 = – 18 Para continuar con el ejemplo presione [enter]

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Aunque ya se factorizo el polinomio hay que recordar que se multiplico por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor. 6x2 – 7x – 3 = (6x – 9) (6x – 2) 6 = 3 (2x – 3) 2 (3x – 1) 2  3 (2x – 3) (3x – 1) = Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio. ( a + b )3 = a3 + 3 a b2 3 a2 b b3 ó – Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Ejemplo: 8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3 3 3 (2 x2) – 3 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) (3 y3) 2 – (3 y3) 3 = ( ) 2x2 – 3y3 Presione [enter] para próxima diapositiva

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Presione [enter] para próxima diapositiva FACTORIZACION DE UN POLINOMIO Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos. Ej: cubo ( 13 ) cuadrado 3 x + 1 = ( ) x + 1 ( ) x – x 1 1 2 + 2  Signo contrario el que se encuentra en término anterior cubo ( x3 ) cuadrado cubo ( 23 ) cuadrado 3 a – 8 = ( ) a – 2 ( ) a + a 2 2 2 – 2  Signo contrario el que se encuentra en término anterior Cubo ( a3 ) cuadrado