--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez “CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de áreas Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 1. CURVAS EXPRESADAS EN FORMA EXPLÍCITA y = f(x) Caso 1.1: Área de la figura limitada por la curva y=f(x) entre x = a, x = b y el eje OX a) Al buscar los puntos de corte de y = f(x) con el eje OX (haciendo f(x)=0) ninguno pertenece al intervalo [a,b] y=f(x) x=b x=a Área --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez b) Al buscar los puntos de corte de y = f(x) con el eje OX (haciendo f(x)=0) ambos pertenecen al intervalo [a,b] y=f(x) x=b x=a Área x1 x2 --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Caso 1.2: Área de la figura limitada por las curvas y=f(x), y=g(x),x = a, x = b a) f(x) y g(x) tienen el mismo signo en [a,b] y no se cortan x=b x=a y=f(x) Área y=g(x) y=g(x) y=f(x) x=a x=b Área --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez b) f(x) y g(x) tienen signo contrario en [a,b] y no se cortan y=f(x) x=b x=a Área y=g(x) --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez c) f(x) y g(x) tienen el mismo signo en [a,b] y se cortan x=b x=a y=f(x) y=g(x) x1 x2 --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Caso 1.4: Área de la figura limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) Se resuelve el sistema: para hallar su intersección y=f(x) y=g(x) a b Área --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez EJEMPLO Hallar el área limitada por las curvas: Solución: Puntos de intersección: --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez EJEMPLO Hallar el área limitada por las curvas: Solución: --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Puntos de intersección: Luego los puntos de intersección son: x1=arctg(1.5)[0,p/2] x2= p +arctg(1.5)[p/2, 3p/2] x1 x2 --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

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--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez EJEMPLO: Hallar el área de que encierra una elipse de semiejes a y b. Su ecuación es: Solución: b Debido a la simetría se puede calcular Sólo el área A1 y multiplicar por 4 para obtener el área total. A1 -a a A = 4. A1 -b --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Una expresión paramétrica de la elipse es: x(t) = a . cos(t) y (t) = b . sen(t) El área de la elipse será entonces: Que, expresada en paramétricas va a ser: --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Una forma de resolver la integral anterior es mediante la beta de Euler, en su expresión: Siendo: 2p – 1 = 2  p = 3/2 2q – 1 = 0  p = 1/2 Por lo tanto: A=p.a.b --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez EJEMPLO: Hallar el área de la región del plano que está encerrada entre el eje de abscisas (y=0) y la parábola: Solución: --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez Intersección parábola con eje OX: x = 2 , x = 5 Intersección entre y1, y2 A = 9/2 --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez ÁREA DE UNA CURVA EXPRESADA EN POLARES: Consideramos la curva: r = r(q) Área sector circular (ASC) p.r2  2.p ASC  Dqi radio medio (ri ) ASC=(1/2). ri2.Dqi Ii Sumando todos los sectores: Dqi Cuando n   se obtiene: --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez EJEMPLO: Calcular el área de la región del plano limitada por la curva de ecuación polar: (Lemniscata de Bernoulli) Solución: Por simetría: q=p/4 q=-p/4 de donde: =2a2 --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcular el área comprendida entre la curva y=tg(x/2) la recta x=p/4 y el eje OX Solución: 0.158347... (*) 2. Calcular el valor del área rayada de la figura: Solución 1 x2+y2=1 a2 1 (*) Fuente: Universidad Alfonso X El Sabio --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 3. Calcular el valor del área comprendida entre las cardioides: q = p/2 q = p q = 0 Solución --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez (*) 4. Calcular el área comprendida entre la circunferencia x2 + y2 = 4 y la recta x = 1 Solución (*) 5. Calcular el área entre la curva: x=y2+4.y y la recta x=0 Solución (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Cálculo de áreas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez