Matemáticas Acceso a CFGS Bloque IV * Tema 170 PROBABILIDAD TOTAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Diagrama del árbol DIAGRAMA DE ÁRBOL Al igual que ocurría en Combinatoria, el uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. Para componer un diagrama de árbol seguiremos las siguientes normas: Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es uno. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS PROBABILIDAD TOTAL Sea A1, A2, A3, … un sistema completo de sucesos. Se cumple: Son incompatibles entre sí. La unión de todos ellos es el suceso seguro. Sea B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas: P(B / A1), P(B / A2), … , P(B / An) Entonces se cumple: P(B) = P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+P(A3).P(B/A3)+…+P(An).P(B/An) Si un suceso, B, se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos que lo producen. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas. Se elige un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en la localidad?. Ejemplo 2 En la universidad, Ana, Beatriz y Carlos se alternan la tarea de tomar apuntes. En una semana toman 100, 150 y 250 páginas de apuntes respectivamente. Las páginas con errores son el 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma una página al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. ¿Y de que no? @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 1 Empleando el diagrama del árbol P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L P(A)=0,6 P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L P(O)=0,4 P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79 P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21 Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 2 Empleando el diagrama del árbol P(E/A)=0,05 0,2.0,05 = 0,01 De Ana y con errores P(A)=0,2 P(NE/A)=0,95 0,2.0,95 = 0,19 De Ana y sin errores P(E/B)=0,03 0,3.0,03 = 0,009 De Bea y con errores P(B)=0,3 P(NE/B)=0,97 0,3.0,97 = 0,291 De Bea y sin errores P(E/C)=0,02 0,5.0,02 = 0,01 De Carlos y con errores P(C)=0,5 P(NE/C)=0,98 0,5.0,98 = 0,49 De Carlos y sin errores P(E) = 0,01+0,009+0,01=0,029 P(NE)=0,19+0,291+0,49=0,971 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 3 En una población africana el 35 % son niños, el 55% son adultos y el resto ancianos. El 20%, el 40% y el 10% respectivamente de niños, adultos y ancianos tienen el SIDA. Tomada una persona al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el SIDA?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el SIDA?. P(Ni)=0,35 P(Ad)=0,55 P(An)=0,10 a) P(S) = P(Ni).P(S/Ni) + P(Ad).P(S/Ad) + P(An).P(S/An) = = 0,35.0,20 + 0,55.0,40 + 0,10.0,10 = 0,07 +0,22 + 0,01 = 0,30 b) P(NS)= 1 – P(S) = 1 – 0,30 = 0,70 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 4 Tres alumnos universitarios se reparten el trabajo de tomar apuntes en clase. Ana realiza 20 páginas a la semana, Beatriz realiza 30 páginas y Carlos 45 páginas. Pero el 4%, el 6 % y el 10 % de las páginas que realizan Ana, Beatriz y Carlos respectivamente tienen errores. Una semana se toma una página al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga errores?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no contenga errores?. P(A) = 20/95 = 0,2105 P(B) = 30/95 = 0,3158 P(C) = 45/95 = 0,4737 a) P(E) = P(A).P(E/A) + P(B).P(E/B) + P(C).P(E/C) = = 0,2105.0,04 + 0,3158.0,06 + 0,4737.0,10 = = 0,008420 +0,018948 + 0,047370 = 0,074738 b) P(NE)= 1 – P(E) = 1 – 0,074738 = 0,925262 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO 5 En una urna tenemos 5 bolas blancas y 3 negras. Extraemos una bola al azar. Si es blanca la devolvemos a la urna y extraemos a continuación una segunda bola. Si la primera bola extraída es negra, la cambiamos por una blanca que introducimos en la urna, y extraemos a continuación una segunda bola. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea blanca?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra?. P(B) = 5/8 = 0,625 P(N) = 3/8 = 0,375 P(B∩B) = P(B).P(B/B) = 0,625 . 0,625 = 0,390625 P(B∩N) = P(B).P(N/B) = 0,625 . 0,375 = 0,234375 P(N∩B) = P(N).P(B/N) = 0,375 . 6/8 = 0,281250 P(N∩N) = P(N).P(N/N) = 0,375 . 2/8 = 0,09375 a) P(2ºB) = 0,390625 + 0,281250 = 0,671875 b) 1 – P(2ºB) = 1 – 0,671875 = 0,328125 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS TEOREMA DE BAYES Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión: P(Ai).P(B / Ai) P(Ai / B) = ------------------------------------------------------------------------- P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An) Donde P(Ai) son las probabilidades a priori. P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori. P(B / Ai) son las verosimilitudes. Ejemplo 1 En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Resolución Probabilidades a priori: P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. Probabilidades a posteriori: P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85  Sea chica y viva en la loc. P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7  Sea chico y viva en la loc. Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes P(O).P(L / O) 0,4 . 0,7 0,28 P(O / L) = --------------------------------------- = ---------------------------- = -------- = P(A).P(L / A) + P(O).P(L / O) 0,6 . 0,85 + 0,4 . 0,7 0,79 = 0,3544 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Resolución gráfica P(O)=0,4 P(A) = 0,6 P(NL / A)=0,15 P(L / O) = 0,7 P(NL / O) = 0,3 P(A).P(L/A) = 0,6.0,85 = 0,51 P(A).P(NL/A) = 0,6.0,15 = 0,09 P(O).P(L/O) = 0,4 . 0,7 = 0,28 P(O).P(NL/O) = 0,4.0,3 = 0,12 D D I E A G Á R R A B M O A L @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo_2: En una casa hay tres llaveros, A, B y C, con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Sólo una llave de cada llavero abre el trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la llave no abra?. c) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?. d) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al tercer llavero C?. RESOLUCIÓN Probabilidades a priori: P(A) = 1/3 = 0,3333  Sea el primer llavero. P(B) = 1/3 = 0,3333  Sea el segundo llavero. P(C) = 1/3 = 0,3333  Sea el tercer llavero. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Probabilidades a posteriori: P(A / L) = 1/5 = 0,20  Abra la llave del llavero A. P(B / L) = 1/7 = 0,1428  Abra la llave del llavero B. P(C / L) = 1/8 = 0,125  Abra la llave del llavero C. P(A / NL) = 4/5 = 0,80  No abra la llave del llavero A. P(B / NL) = 6/7 = 0,8572  No abra la llave del llavero B. P(C / NL) = 7/8 = 0,875  No abra la llave del llavero C. a) Probabilidad de acertar con la llave: P(L) = P(A).P(L/A) + P(B).P(L/B) + P(C).P(L/C) = = 0,3333.0,20 + 0,3333.0,1428 + 0,3333.0,125 = = 0,066667 + 0,047619 + 0,041667 = 0,155953 b) Probabilidad de que el llavero sea el C y la llave no abra: P(C / NL) = P(C) . P(NL/C) = 0,3333. 0,875 = 0,291667 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS c) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero A: Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes P(A).P(L / A) P(A / L) = ---------------------------------------------------------- = P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C) 0,3333. 0,20 = -------------------------------------------------------------------------- = 0,3333. 0,20 + 0,3333. 0,1428 + 0,3333. 0,125 = 0,066667 / ( 0,066667 + 0,047427 + 0,041667) = = 0,066667 / 0,155953 = 0,427479 d) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero C: P(C).P(L / C) P(C / L) = ---------------------------------------------------------- = = 0,041667 / 0,155953 = 0,267176 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Resolución gráfica P(L)=1/5  P(A).P(L/A) = 1/3. 1/5 = 0,0667 P(NL)=4/5  P(A).P(NL/A) = 1/3.4/5 = 0,2667 P(L)=1/7  P(B).P(L/B) = 1/3. 1/7 = 0,0476 P(NL)=6/7  P(B).P(NL/B) = 1/3.6/7 = 0,2856 P(L)=1/8  P(C).P(L/C) = 1/3. 1/8 = 0,0416 P(NL)=7/8  P(C).P(NL/C) = 1/3. 7/8 = 0,2912 P(A)=1/3 P(B)=1/3 P(C)=1/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS