Límites infinitos. 1- Se dice que lím f (x) =  si: x x a)  una vecindad perforada V de 0   V Dom. f | f (x)|  0 b) lím 1 = 0 x x f (x)

Lím 1 =  Ejemplo: a)  x  V Dom f 1  0 (x - 2)³ x 2 (x - 2)³ a)  x  V Dom f 1  0 (x - 2)³ b) lím 1  lím (x - 2)³  0 x 2 1 x  2  el límite es infinito.

2- Se dice que lím f (x) = + si: x x0 a)  una vecindad perforada V de o   V Dom. f f (x)  0 b) lím 1 = 0 x x0 f (x)

 el límite es infinito positivo. Ejemplo: Lím 1 = +  x 0 x² a)  x  V Dom f 1  0 x² b) lím 1  lím x ²  0 x 0 1 x  0  el límite es infinito positivo.

3- Se dice que lím f (x) = - si: x x0 a)  una vecindad perforada V de o   V Dom. f f (x) < 0 b) lím 1 = 0 x x0 f (x)

 el límite es infinito negativo. Ejemplo: Lím 1 = -  x 2 x - 2 x < 2 a)  x  V Dom f 1 < 0 x - 2 b) lím 1  lím x - 2  0 x 2 1 x  2 x < 2 x - 2 x < 2  el límite es infinito negativo.

Límites a izquierda y a derecha. lím f (x)  lím f (x) x x0 x x0 + x  x0 Llamaremos límite en Xo por la derecha. Definición: lím f (x)  L x x0 +  (0)(0)(x)(xo  x  x0 +   f (x) - L  )

lím f (x)  lím f (x) lím f (x) L x x0 x x0 ¯ x < x0 Llamaremos límite en Xo por la izquierda. Definición: lím f (x) L x x0 ¯  (0)(0)(x)(xo -   x  x0  f (x) - L  )

Teorema de unicidad de límites. lím f (x) = Existe  lím f (x) = lím f (x) x x0 x x0 + x x0 ¯ * El resultado siempre debe ser el mismo. Ejemplo: 1) lím x - 1 2) lím x - 1 x1 ¯  x - 1 x1+  x - 1 lím x - 1 = -1 lím x - 1 = 1 x1 ¯ - ( x - 1) x1+ ( x - 1)  lím x - 1  porque los límites son diferentes -1  1 x1  x - 1

Límites importantes. x o x x n x x x   1) lím sen x = 1 5) lím ex =  x o x x 2) lím n! =  6) lím ln x =  n x 3) lím 2n = 0+ 7) lím ( 1 + 1 ) x = e n n! x x 4) lím sen x = 0 8) lím ( 1 +  ) 1/ =e x x  

9) lím f (x)  0 12) lím f (|x|) = lím f (x) x x0 xo xo+ entonces: lím ( ln f (x)) = ln lím f (x) 13) lím e x = 0+ x x0 x x0 x - 10) lím sen 1 = 0 14) lím e x - 1 = 1 x x xo x 11) lím f (x) = lím f (-x) xo+ xo-

Teoremas de límites. x de una vecindad reducida de xo y que: 1. f 1 (x)  f 2(x)  f 3 (x) x de una vecindad reducida de xo y que: lím f 1(x) = lím f 3(x) = L  lím f 2(x) = L x x0 x x0 x x0 2. f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0

Caso I: lím f 1(x) = L1  lím f 2(x) = L2 con L1  L2  R f 2(x) L2 x x0 x x0 f 2(x) L2  lím ( f 1(x)) = L1 x x0

Caso II: lím f 1(x) = L1  lím f 2(x) =  x x0 L1  1 x x0 f 2(x)  lím ( f 1(x)) x x0 El límite se resuelve directamente.

Caso III: lím f 1(x) = 1  lím f 2(x) =  lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) x x0 x x0 lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0 f 2(x) x x0 = e

Ejercicios: calcular los límites. 1. 2x + 1 lím 5x + 2 3 x  3 x + 3 lím 5x + 2 = 17  lím 2x + 1 = 7 x  3 x + 3 6 x  3 3 3 2x + 1 7 lím 5x + 2 3 = 17 3 x  3 x + 3 6

x  2 x - 1 (x - 2) lím 4x + 1 x -2 =  lím 4x + 1 = 9  lím 1 =  2. 1 lím 4x + 1 x -2 =  x  2 x - 1 lím 4x + 1 = 9  lím 1 =  x  2 x - 1 x  2 x - 2 a) 1  0 x - 2 b) lím 1 = lím (x - 2) = 0 x  2 1 x  2 (x - 2)

lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4) x  4 x - 3 = e = e = e = e² 3. 1 lím 3x - 11 x -4 x  4 x - 3 lím 3x - 11 = 1 lím 1 =  x  4 x - 3 x  4 x - 4 lím 3x - 11 - 1 1 x  4 x - 3 x - 4 = e lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4) x  4 x - 3 x - 4 x  4 (x - 3)( x - 4) = e = e = e²

= ln e = ln e = ln e x = 1 lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h 4. lím f (x + h) - f (x) si f (x) = ln x h 0 h 1 lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h h 0 h h 0 x 1 ln lím x + h h como se cumplen las condiciones h 0 x del caso 3... lím x + h - 1 1 lím x + h - x 1 h 0 x h h 0 x h 1 = ln e = ln e = ln e x = 1 X

Integrantes : Karen Arancibia Claudia Carmona Alejandra Gonzalez Grupo 4.