TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

Plano Cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas graduadas, perpendiculares entre sí, llamadas ejes coordenados o ejes cartesianos. El eje horizontal corresponde al eje de las abscisas o eje X, y el eje vertical, al eje de las ordenadas o eje Y. El punto en que se intersecan estas rectas se llama origen.

Para determinar la posición de un punto P en un plano se le asocia un par ordenado ( x, y ) de números reales , que constituyen sus coordenadas respecto de un sistema de ejes coordenados. P(x,y); x,y son números reales Ejemplo: A(2,3) , B(-5,0) , C(0,2) Todos los puntos ubicados en el eje X tienen ordenada cero, ejemplo: A (1,0) , B( -2,0) , C(5,0). Todos los puntos ubicados en el eje Y tienen abscisa cero, ejemplo: P(0,3) , Q(0,-5) , R(0,1)

Actividad 1 Dibuja en tu cuaderno el plano cartesiano y ubica los siguientes puntos. 1. A(5,8) 2.B(3,6) 3.C(4,4) 4. D(-1,-8) 5. E(-5,4) 6.F(-5,4) 7. G(0,-3) 8.H(5,0) 9. I(-7,0) 10.J 11. 12.L(0,6)

Actividad 2 Indica en qué cuadrante se ubica un punto , según las siguientes condiciones: Su abscisa es negativa y su ordenada es positiva. Su abscisa es positiva y su ordenada es negativa. Su abscisa es negativa y su ordenada es negativa.

Vectores en el plano cartesiano Un vector es un segmento con magnitud, dirección y sentido definidos. Este se denota por o ("el que conduce o arrastra“). Magnitud, distancia entre el punto inicial y el punto final del vector. Dirección, inclinación de la flecha con respecto a la horizontal. (derecha, izquierda) Sentido, hacia donde se realiza el desplazamiento , indicado por el extremo que corresponde a la cabeza de la flecha. (arriba, abajo)

Para representar un vector en el plano cartesiano utilizamos un par ordenado (x,y), llamado componentes del vector. La componente x representa el desplazamiento horizontal, positivo hacia la derecha o negativo hacia la izquierda, y la componente y representa el desplazamiento vertical, positivo hacia arriba o negativo hacia abajo.

Componentes de los vectores

Componentes de un vector Dado los puntos y , el vector que va desde A hacia B tiene componentes :

ACTIVIDAD 1 En la figura determinemos las componentes del vector AB Y El vector AB se puede determinar de la siguiente forma. A(-3,4) y B(2, 1) Luego: AB=(2-(-3), 1-4) AB = (5,-3) X B X

ACTIVIDAD Identifique los puntos indicados en el plano cartesiano. Determine las componentes de los siguientes vectores D Y C A B F X E

Transformación isométrica Una transformación isométrica es aquella que solo modifica la orientación y/o posición de una figura, pero mantiene su forma y sus medidas, entre ellas tenemos: - traslación - rotación - reflexión (simetría central, simetría axial)

Transformaciones en el plano cartesiano “ TRASLACIÓN” Al desplazamiento de una figura plana en el cual se conserva su forma, orientación y medidas, se le denomina TRASLACIÓN. Al trasladar un punto o una figura en el plano cartesiano debemos indicar el sentido, dirección y magnitud de la traslación utilizando un vector: En el plano cartesiano , la imagen de un punto P(x,y) que se traslada según un vector corresponde a:

Y C’ C B’ A’ X B A

Composición de traslaciones Si se aplica a una figura F una traslación respecto al vector resulta F’ y si a esta se le aplica una traslación según el vector resulta F’’. Es decir, la transformación anterior es equivalente a aplicar sobre F una traslación con vector obteniendo F’’. Es decir:

Suma de vectores Si tenemos y , las componentes del vector suma: Ejemplo: Si tenemos los siguientes vectores:

Ejemplo Traslada el triángulo ABC de la figura con respecto a la suma de los vectores u y v

Ejemplo A u B A’ B’’ u+v C C’ v

Transformaciones isométricas

Al rotar una figura con centro de rotación en el origen del plano cartesiano, en los ángulos 90º,270º y 180º, encontramos ciertas regularidades que nos sirven para generalizar estas rotaciones. Estas regularidades tienen relación con los inversos aditivos de las coordenadas y con la permutación de abscisas y ordenadas.

Actividad Represente en el plano cartesiano el triángulo ABC, donde A(3,1) , B(6,1) y C(1,3). Rote el triángulo en 90º y 270º con centro de rotación en el origen del sistema cartesiano.

FIN