INTRODUCCION A LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Y DISTRIBUCION NORMAL Mario Briones L. MV, MSc 2005

Variables aleatorias Tienen un número para cada resultado de un experimento (prueba) Tienen una distribución de probabilidad que asocia un valor de probabilidad a cada resultado numérico de un experimento “Una variable aleatoria es una variable (casi siempre representada por x) que tiene un solo valor numérico (determinado por el azar) para cada resultado de un experimento”.

Ejemplos: x = el número de accidentes aéreos de American Airlines entre 7 accidentes aéros seleccionados al azar. x = La producción lechera de una vaca en un lactancia completa. x = el número de estudiantes que faltaron hoy a la clase de estadística... x = el número de crías en la camada de una rata de laboratorio. x = el puntaje obtenido en el test de clase...

Variable aleatoria discreta: tiene un número finito de valor o un número de valores susceptibles de encontrarse Variable aleatoria continua: tiene un número infinito de valores y dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua.

Distribución de probabilidad Si se conocen todos los valores de una variable aleatoria, junto con sus correspondientes probabilidades, tenemos una distribución de probabilidad. DEFINICION: una distribución de probabilidad da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria

Ejemplo de la distribución de una variable discreta. En la lámina siguiente se observa la distribución de frecuencia absoluta y relativa de la variable (x) número de crías por camada en ratas de laboratorio, en un total de 1003 ratas. La variable es aleatoria discreta y tiene los siguientes valores posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Tabla de frecuencia absoluta y relativa (probabilidad)

Histograma de probabilidad

Distribución continua de probabilidad Peso al nacimiento de terneros machos de razas de carne n= 531 Rango= 64-16= 48 kilos Media= 39.4 kilos Mediana= 39.5 kilos Moda= 40 kilos Varianza= 37.9 Desviación típica= 6.15 kilos CV= 15.6%

Descripción de una variable cuantitativa Histograma de frecuencia, 5 clases

Descripción de una variable cuantitativa Histograma de frecuencia, 10 clases

Descripción de una variable cuantitativa Histograma de frecuencia, 12 clases

Descripción de una variable cuantitativa Polígono de frecuencia, 12 clases

Descripción de una variable cuantitativa Curva de densidad, 12 clases

En la medida que el número de observaciones tiende a infinito y el ancho de los intervalos tiende a cero, el polígono de frecuencia se aproxima a una curva uniforme

Consecuencias El área total bajo la curva es 1 La frecuencia relativa de ocurrencia de los valores entre dos puntos sobre el eje X es igual al área total, limitada por la curva, por el eje X y por las líneas perpendiculares levantadas en los dos puntos del eje X. La probabilidad de cualquier valor específico es CERO

Integración de la función densidad de a a b. f(x) a b x No es posible encontrar la probabilidad para un valor específico pero si se puede encontrar la probabilidad para un intervalo entre dos valores a y b, el cual es igual al área bajo la curva entre esos dos puntos.

Distribución gaussianna ABRAHAM De MOIVRE...... 1667-1754 PIERRE LAPLACE…..1749-1827 CARL FRIEDRICH GAUSS..... 1777-1855

f(x)= e 1  2ps P= 3,141592 e= 2,71828 m= media s= desviación estándar DENSIDAD NORMAL (ALTURA DE LA CURVA PARA DIFERENTES VALORES DE X) 1 f(x)= e -(x-m)2/2s2  2ps P= 3,141592 e= 2,71828 m= media s= desviación estándar

Abraham de Moivre (1667-1754), matemático anglo francés, nacido en Vitry-le-Francois, Champagne. Era un descendiente de hugonotes o protestantes franceses, se mudó a Inglaterra después de la revocación de la libertad religiosa garantizada por el edicto de Nantes. Vivió en Inglaterra por el resto de su vida trabajando como profesor. A la edad de 30 años fue elegido como miembro de la Real Sociedad. Como uno de los amigos más cercanos de Isaac Newton, trabajó con él y bajo su encargo, principalmente en la disputa entre Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz sobre la invención del Cálculo y las Probabilidades. Es considerado como uno de los más grandes pensadores en el desarrollo de la teoría de la probabilidad en el siglo XVIII, junto con Laplace

Carl Friederich Gauss (1777-1855, matemático alemán nacido en Braunschweig el 30 de abril de 1777. Contribuyó en muchas áreas de las Matemáticas incluyendo la teoría de la probabilidad, algebra y geometría. En su tesis doctoral el probó que cada polinomio tiene al menos una raíz o solución. Esta teoría pasó a ser conocida como la teoría fundamental del Algebra. Gauss también aplicó su trabajo matemático teorías de la electricidad y magnetismo. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de probabilidad. El gráfico de la probabilidad normal es llamado curva de Gauss.

Pierre Simon, Marqués de Laplace (1749-1827), astrónomo y matemático francés, conocido por su aplicación exitosa de la teoría de la gravitación de Newton para explicar todos los movimientos planetarios en el sistema solar. Laplace nació en Normandía y fue educado en la Escuela Militar de Beaumont. En 1767 pasó a ser profesor de Matemáticas en la Escuela Militar de París y en 1785 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias. Publicó su trabajo en probabilidades en un libro llamado “Théorie analytique des probabilités” (Teoría analítica de las probabilidades).