FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS SALIR FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

La factorización es un proceso que permite descomponer en factores un número o una expresión algebraica. Factorizar un número o expresión significa escribirlo como un producto de sus factores.

Recordemos que se le llama factor a cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Observemos lo siguiente: 5 x 2 = 10 5 y 2 son factores de 10 3 x 4 = 12 3 y 4 son factores de 12 x2 x3 = x5 x2 y x3 son factores de x5

Un número o expresión puede tener muchos factores. Regresar al menú Salir

FACTOR COMÚN: Se le llama así al factor letra, número o combinación de ambos que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.

Veamos esto de otra forma: 4 x2 – 16 x3 + 24 x5 Analizemos término por término 4 x2 Podemos expresarlo como: 4 x x - 16 x3 Podemos expresarlo como: - 4 4 x x x 24 x5 Podemos expresarlo como: - 6 x x x x x 4

Observando podemos ver que en los 3 términos que componen el polinomio tenemos el término , este término se le conoce como factor común. 4 x x = 4 x 2 Así entonces puede expresarse como: 4 x2 – 16 x3 + 24 x5 4 x2 ( 1 – 4 x + 6 x3 ) Si multiplicamos estos factores regresamos a la expresión original.

** No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia con esta operación (operaciones con números naturales, criterios de divisibilidad, m.c.d. y m.c.m.) así como los productos notables pueden ser de gran utilidad para facilitarnos este proceso.

Obtenemos el máximo común divisor ( m.c.d. ) de los coeficientes. Por ejemplo, para obtener el máximo factor común se puede proceder de la siguiente manera: Obtenemos el máximo común divisor ( m.c.d. ) de los coeficientes. m.c.d. 12 y 4 + 16 y 3 16 2 6 8 2 3 4 4 x Coeficientes máximo común divisor

Escogemos la o las variable (s) que aparecen en todos los téminos con su menor exponente. 12 y 4 + 16 y 3 La “y” aparece en todos los términos y el menor exponente con el que aparece es el 3 (y3).

Entonces el factor común es 4y3 y la factorización sería: 12 y4 + 16 y3 = 4 y3 ( 3 y + 4 ) 16 y3 4 y3 12 y4 4 y3

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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recordemos que......

El resultado de elevar un “binomio al cuadrado” es un trinomio, al cual le damos el nombre de “trinomio cuadrado perfecto”, entonces, si realizamos la operación contraria (factorizar) con este trinomio significa que debemos obtener un binomio al cuadrado.

Para identificar un trinomio de la forma x2 + bx + c como “cuadrado perfecto” es necesario verificar que se cumpla lo siguiente:

término independiente La mitad del coeficiente del término en “x”, elevado al cuadrado, es igual al término independiente término independiente término en “x” o lineal x 2 + 10 x + 25 10 2 52 = 5 = 2 5

x2 = x Obtener la raíz cuadrada del término cuadrático. La factorización completa sería: Obtener la raíz cuadrada del término cuadrático. x2 = x

Obtener la mitad del coeficiente del témino en “x” (término lineal) y elevarlo al cuadrado para verificar que el trinomio sea cuadrado perfecto. x2 + 10 x + 25 10 2 5 52 = 25 =

Escribir los binomios iguales o el binomio al cuadrado, con la raíz cuadrada del término cuadrático y la mitad del coeficiente del término en “x” enlazados por el signo que tenga este término. x2 + 10 x + 25 = ( x+5 ) ( x+5 ) = ( x + 5 ) 2

Otro ejemplo: Factorizar a2 – 8 a + 16 Raíz cuadrada de a2 a2 = a

Mitad del coeficiente del término lineal (lo elevamos al cuadrado para comprobar que sea un trinomio cuadrado perfecto). a2 – 8 a + 16 8 2 4 42 = 16 =

* Escribimos los binomios iguales o el binomio al cuadrado. a2 – 8 a + 16 = ( a – 4 ) ( a – 4 ) = ( a – 4 )2 * Si el trinomio no es cuadrado perfecto es probable que se pueda factorizar como producto de dos binomios con un término común.

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TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c 2 Recordemos que......

Al multiplicar 2 binomios que tienen un término común obtenemos un trinomio de 2° grado, entonces, recíprocamente, al factorizar un trinomio de 2° grado obtenemos dos binomios con un término común. Procedemos de la siguiente manera:

Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático Obtenemos la raíz cuadrada del término cuadrático. El resultado será el término común de los binomios. y2 – 10 y + 24 = ( y ) ( y ) y2 = y

Dividimos el término lineal del trinomio entre el término común, para obtener la suma de los términos no comunes. + 10 y y = + 10 Buscamos 2 números que nos den la suma anterior (10), pero que multiplicados nos den el término independiente del trinomio.

Entonces los números que buscamos son + 6 y + 4 Factores de + 24 1 24 2 12 3 8 4 6 ¿Cuáles suman 10? 1 24 2 12 3 8 4 6 = 25 Entonces los números que buscamos son + 6 y + 4 = 14 = 11 = 10

Obtenemos la raíz cuadrada de 9 m2 para encontrar el término común. Por lo tanto la factorización es: y2 + 10 y + 24 = ( y + 6 ) ( y + 4 ) Veamos otro ejemplo: 9m2 - 27 m + 8 = Obtenemos la raíz cuadrada de 9 m2 para encontrar el término común. 9m2 - 27 m + 8 = ( 3m ) ( 3m ) 9m2 = 3m

Dividimos el término lineal del trinomio entre el término común. = - 9 Buscamos 2 números que sumados nos den –9 y multiplicados nos den el término independiente ( +8 ).

Entonces los números que buscamos son - 1 y - 8 Factores de + 8 1 8 2 4 - 1 - 8 - 2 - 4 ¿ Cuáles suman – 9 ? 1 8 2 4 - 1 - 8 - 2 - 4 = 9 = 6 Entonces los números que buscamos son - 1 y - 8 = - 9 = - 6

La factorización es: 9m2 - 27 m + 8 = ( 3m - 1 ) ( 3m - 8 )

* No todos los trinomios de la forma x2 + bx + c son factorizables en el conjunto de los números enteros, por ejemplo: en x2 + 3x + 1 no existen 2 números enteros que multiplicados den 1 y sumados den 3. Cuando esto pasa, diremos que ese trinomio no es factorizable en el conjunto de los números enteros.

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FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Recordemos que......

Al multiplicar binomios conjugados, obtenemos una diferencia de cuadrados. Esto quiere decir que podemos factorizar una diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados. Solo necesitamos extraer la raíz cuadrada de los 2 términos y escribir los binomios conjugados.

factorizar 9 x2 - 16 = ( 3x + 4 ) ( 3x – 4 ) 9 x2 = 3 x 16 = 4 Por ejemplo, factorizar 9 x2 - 16 simétricos 9 x2 - 16 = ( 3x + 4 ) ( 3x – 4 ) 9 x2 = 3 x 16 = 4

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