Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Aplicaciones Lineales: Aplicación Lineal: Definición. Ejemplos. Propiedades. Núcleo de una aplicación lineal. Imagen de una aplicación lineal. Teorema fundamental de las aplicaciones lineales. Clasificación de las aplicaciones lineales. Representación matricial de una aplicación lineal. Expresión de una aplicación lineal en bases distintas: cambio de base.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Definición de Aplicación Lineal Sean E y F espacios vectoriales definido sobre un cuerpo conmutativo . Una aplicación T de E sobre F es aquella que hace que a cada vector de E le corresponda un vector de F. T T(x)=y x E F Para que la aplicación sea lineal debe cumplir dos condiciones:  x , y  E T(x+y)=T(x)+T(y)  x  E   a   T(ax)=aT(x)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Ejemplos Transformación de un vector de 2 en su simétrico respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Toda matriz Amxn representa una transformación lineal de un espacio E de dimensión n sobre otro espacio F de dimensión m. xE  y F / T(x)=Ax=y 

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Propiedades T(0E)=0F T(ax+by)=aT(x)+bT(y) en general: T(Saixi)=Sai T(xi) Si {e1,e2, …, en} es un conjunto linealmente dependiente de E, entonces {T(e1),T(e2) ,…,T(en)} es un conjunto linealmente dependiente de F. Si {e1,e2, …, en} es un sistema generador de E entonces {T(e1),T(e2) ,…,T(en)} es un sistema generador de T(E)=Im(T) n n i=1 i=1

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Núcleo de una Aplicación Lineal (Kernel, Null Space) Dada una aplicación lineal T definida de E sobre F, Se llama núcleo de la aplicación lineal T a un subconjunto de E formado por todos los vectores xE tales que T(x)=0F Los vectores que pertenecen al núcleo de la aplicación forman un subespacio vectorial de E. El subespacio núcleo también se conoce con los nombres Kernel y Null Space (en la bibliografía inglesa). T  0F E F Ker(T)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Imagen de una Aplicación Lineal (Column Space) Dada una aplicación lineal T definida de E sobre F, Se llama Imagen de la aplicación lineal T a un subconjunto de F formado por todos los vectores yF que son imagen de algún vector xE Los vectores que pertenecen a la Imagen de la aplicación forman un subespacio vectorial de F. El subespacio Imagen también se conoce con el nombre de Column Space (en la bibliografía inglesa), y hace referencia a las columnas linealmente independientes de la matriz que representa la aplicación lineal. T E F Im(T)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Núcleo e Imagen Dada una matriz A que representa la aplicación lineal T de E sobre F, cúales son los subespacios Núcleo e Imagen? Núcleo: Está formado por todas las soluciones posibles del sistema homogéneo A x=0. xE / Ax=0 Imagen: Está formado por todos los términos independientes b, del sistema A x=b, que se pueden obtener para cualquier vector xE . Esos términos independientes son combinaciones lineales de las columnas de la matriz A.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Teorema fundamental de las aplicaciones lineales (1) La dimensión del espacio vectorial inicial E es igual a la suma de las dimensiones del núcleo de la imagen de la aplicación. Dim E=Dim Ker(T)+Dim Im(T) Demostración: Se dispone de una base del Núcleo BKer(T)={e1,e2, …, ep} (Dim Ker(T)=p) Completamos la base del nucleo hasta conseguir una base de E BE={e1,e2, …, ep, ep+1,ep+2, …, en} (Dim E=n) Calculamos una base de Im(T) ; Im(T)=Span(T(BE)) Im(T)= Span{T(e1),T(e2), …,T(ep),T(ep+1),T(ep+2), …,T(en)} n-p vectores Las imágenes de vectores del núcleo son 0F p vectores

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Teorema fundamental de las aplicaciones lineales (2) Demostraremos que los vectores T(ep+1),T(ep+2), …,T(en) forman una base de im(T) y por lo tanto deben ser linealmente independientes) ap+1T(ep+1)+ap+2T(ep+2)+…+anT(en)=0F  T(ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anen)=0F ; ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anenKer(T) , por tanto es combinación lineal de los vectores de la base del núcleo. ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anen= a1e1+a2e2+…+apep a1e1+a2e2+…+apep + ap+1ep+1+ap+2ep+2+…+anen=0E Como e1,e2, …, ep, ep+1,ep+2, …, en forman base de E , ai=0 i=1,..,n Así ap+1, ap+2,…., an valen cero, con lo que T(ep+1),T(ep+2), …,T(en) son independientes y forman base de la Im(T). Pertenece al núcleo de T Por lo tanto, Dim Im(T)=n-p y como Dim Ker(T)=p y Dim E=n entonces: Dim E=Dim Ker(T)+Dim Im(T)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Clasificación de las aplicaciones lineales Aplicación lineal inyectiva: Una Aplicación lineal T: EF es inyectiva si T(x)=T(y)  x=y. (Cada imagen tiene un solo origen). Aplicación lineal sobreyectiva: Una Aplicación lineal T: EF es sobreyectiva si  y F  x E / T(x)=y. (Todos los vectores de F son imagen de algún vector de E) Aplicación lineal biyectiva: Una aplicación lineal T: EF es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Caracterización de las aplicaciones lineales inyectivas Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si el núcleo de la aplicación está formado por el vector nulo 0E. Demostración: 1º Sea T una aplicación inyectiva: Supongamos que xKer(T) T(x)=0F Además 0E Ker(T)  T(0E)=0F Como T es inyectiva T(x)=T(0E) x=0E por tanto Ker(T)={0E} 2º Sea Ker(T)={0E}. Demostraremos que T es inyectiva. Sean x, y E / T(x)=T(y) T(x)-T(y)=0F.T(x-y)=0F x-yKer(T)={0E} Por tanto x-y=0E x=y Por tanto si T(x)=T(y) x=y lo que indica que la aplicación es inyectiva T(x)=T(0E)

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Caracterización de las aplicaciones lineales sobreyectivas Una aplicación lineal es sobreyectiva si y sólo si el espacio vectorial final F es la imagen de la aplicación. Demostración:

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Expresión del cambio de base en las aplicaciones lineales Dada una aplicación T definida de un espacio vectorial E de dimensión n sobre otro espacio vectorial F de dimensión m existe una matriz Amxn que representa dicha aplicación de la forma siguiente: xE  yF / T(x)=y La matriz A representa la aplicación lineal para una cierta base de E y otra base de F por lo que deberíamos representar la aplicación de la siguiente manera: ACBE(x)=CBF(y) Un cambio de base podría ser representado esquemáticamente de la siguiente forma: E F T BE BF Matriz A1 B’E B’F Matriz A2 P Q A2=Q-1A1P P= Matriz de paso de BE a B’E Q= Matriz de paso de BF a B’F

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Expresión del cambio de base en las aplicaciones lineales Expresión de la aplicación lineal en las bases BE y BF : (1) Expresión del cambio de base de BE a B’E: Expresión del cambio de base de BF a B’F: Se sustituye cada expresión de cambio de base en la expresión (1) y se opera: La matriz Q es regular puesto que representa un cambio de base, luego: A2