Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORÍA BÁSICA

Problemas de valores iniciales (PVI) Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valor inicial de n-ésimo orden es: Resuelva: Sujeto a:

Existencia de una solución única Sean an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x) diferente de 0 para toda x en este intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema de valor inicial existe y es única.

Problema de valores en la frontera (PVF) Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en el que la variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos. Un problema como: Se llama problema de valores en la frontera.

Ecuaciones homogéneas Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma: es homogénea, mientras que una ecuación: con g(x) no igual a cero, es no homogénea.

Principio de superposición, ecuaciones homogéneas Sean y1, y2, …, yk, soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces la combinación lineal , donde ci=1,2,…,k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

Dependencia lineal e independencia Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, …, cn, no todas cero, tales que: para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Wronskiano Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), posee al menos n-1 derivadas. El determinante: donde las primas denotan derivadas, se llama el wronskiano de las funciones.

Criterio para soluciones linealmente independientes Sean y1, y2, …, yn, n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo oden en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(y1, y2, …, yn) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto y1, y2, …, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Existencia de un conjunto fundamental de soluciones Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I.

Solución general, ecuaciones homogéneas Sean y1, y2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en el intervalo I. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es: donde ci, i=1,2,…,n son constantes arbitrarias.