Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

La ecuación diferencial homogénea de orden n Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n Principio de superposición para ED lineales homogéneas La solución trivial y dependencia e independencia lineal El Wronskiano y la solución general de ED homogéneas Espacios vectoriales y el conjunto fundamental de soluciones ED homogéneas de coeficientes constantes: obtención del conjunto fundamental de soluciones

¿Cuántas soluciones tiene la ED mostrada? Características principales de la ED: Lineal Homogénea Orden n La ecuación diferencial homogénea de orden n tiene n soluciones

Principio de superposición para una ED lineal homogénea de orden n Sean y1, y2, … , yn soluciones de la ED lineal homogénea de orden n: Entonces la combinación lineal donde ci, i = 1, 2, … , n son constantes arbitrarias, también es una solución

(A) Solución trivial de una ED homogénea y dependencia e independencia lineal Corolario: Una ED homogénea posee siempre la solución trivial y(x) = 0 En el caso de una ED homogénea lineal: (A) Solución trivial

Para que (A) se cumpla existen dos posibilidades: (1) no todas son cero (2) Dependencia e independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x), … , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, … , cn, no todas cero, tales que para toda x en I. Si el conjunto NO es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Ejemplo de conjunto de funciones linealmente dependiente Demuestre que el conjunto A de funciones es linealmente dependiente en (-, )

Ejemplo de conjunto de funciones linealmente independiente Demuestre que el conjunto A de funciones es linealmente independiente en (-, )

¿Cómo evaluar la dependencia lineal de un conjunto de funciones? Wronskiano Sean f1, f2, …, fn funciones que poseen al menos n-1 derivadas. El determinante se llama el Wronskiano de las funciones

Se dice que el conjunto de funciones es linealmente independiente si y sólo si

Solución general de una ED lineal homogénea de orden n Sean y1, y2, …, yn n soluciones de la ecuación (I) (I) Si el conjunto es linealmente independiente, es decir, , entonces la solución general de (I) es y al conjunto B se le llama conjunto fundamental de soluciones de (I)

De acuerdo con lo anterior, tenemos que El conjunto fundamental de soluciones es la base del espacio vectorial de dimensión n que contiene a todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea El elemento genérico del espacio vectorial que contiene a todas las soluciones de (I) es la solución general de la ED y se obtiene a través de una combinación lineal de los elementos de la base Para obtener la solución general de (I) basta con conocer al conjunto B, conjunto fundamental de soluciones de (I), y hacer una combinación lineal de sus elementos

¿Cómo obtener el conjunto fundamental de soluciones, B, de una ED lineal homogénea? Veremos un método para obtener los elementos de B para una ED lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes, a partir de sus valores característicos

ED lineales de coeficientes constantes El procedimiento basado en los valores característicos de una ED lineal de coeficientes constantes permite obtener soluciones del tipo Donde l es un valor característico de la ecuación diferencial. Es decir, l es una raíz de la ecuación característica de la ED.

El tipo de soluciones de una ED lineal homogénea de coeficientes constantes depende del tipo de raíces de su ecuación característica: Raíces reales distintas Raíces reales repetidas Raíces complejas