Introducción a Límites de Funciones Definición heurística de los límites finitos de una función Ejemplos de cálculo de límites Límites infinitos y asíntotas Resumen Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones. Límites de Funciones Observar que el valor de f en x0 no importa para calcular el valor del límite (puede no existir). El límite puede existir incluso si la función no está definida para x =x0. Definición Una función f tiene el límite finito L en el punto x0 si los valores f(x) se acercan al número finito L cuando la x se acerca a x0 pero no es x0. Notación Ejemplo La función Tiene límite 0 cuando x  0 a pesar de que f(0) = 1. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Primeros Pasos para Calcular Límites Para calcular el límite de f para x0, lo primero que hay que hacer es evaluar la función en x = x0. Si el valor de la función es un número definido, entonces, en la mayoría de los casos, este es el límite. Ejemplo Calcular el límite Evaluando para x = 1, obtenemos el valor 0. Solución Concluimos que Esto es correcto, como puede verse reescribiendo la expresión: Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Primeros Pasos para Calcular Límites Sustituir el límite no siempre nos lleva a resultados correctos incluso si el valor de la función en el límite está bien definido por la sustitución. Como ejemplo para una situación así, introduce la función “floor” x definida como x = el mayor entero ≤ x. Tenemos 0.1=0, −0.1= −1, 2.0=2. Ejemplo Sea f(x) = x +  −x. Claramente f(0) = 0, pero El valor −1 para el límite sale de que 0 < x < 1, x = 0, y  −x= −1. Por tanto f(x) = −1 para todo x, 0 < x < 1. Como f(−x) = f(x), f(x) = −1 también para todo x, −1 < x < 0. Por lo tanto, como la función toma siempre el valor -1 para todo x satisfaciendo que 0 < |x − 0| < 1, el límite de la función f en 0 es −1. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos En general, podemos encontrar el límite simplemente calculando los valores de la función cerca del punto límite. Ejemplo Encontrar el valor del límite Calculando valores de cerca de x = 1. Solución Se concluye que el límite es aparentemente 2. Este es el resultado correcto, como demostraremos más adelante con otros métodos. Valor de x 0.9 1.9 0.999 1.999 0.999999 2.000 Valor de x 1.1 2.1 1.001 2.001 1.00001 2.000 Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos No nos podemos fiar siempre de las calculadoras. Ejemplo Averiguar el valor del límite calculando valores de próximos a x = 0. Solución Valor de x 0.1 0.4999 0.01 0.5000 0.001 0.0000 El límite parece ser 0. Este resultado es incorrecto. Estos problemas surgen por los errores de redondeo Calculando por el método de reescribir, observamos que: Para valores positivos de x menores que 0.001, una calculadora da el valor 0 como resultado. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones. Errores de Redondeo Las siguientes gráficas de la función muestran los errores de redondeo en el cálculo de valores de la función. -0.001 < x < 0.001 -1 < x < 1 Estas gráficas, obtenidas por un programa informático, muestran el error del redondeo. La gráfica de la izquierda muestra correctamente el comportamiento de la función f cerca de x = 0. Al aproximarnos al origen, observamos que se ha cometido un error por el redondeo. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones. Límites Infinitos Definición Una función f tiene límite +∞ en el punto x0 si los valores f(x) se hacen muy grandes al aproximarse x al punto x0. Notación Ejemplo Debido a que, cuanto más se aproxima x a 0, 1/x2 se hace mayor. Por ejemplo, si x = 0.01, Que significa que la gráfica de dicha función tiene una asíntota vertical en x = 0. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones. Límites Infinitos Definición Una función f tiene límite −∞ en el punto x0 si los valores f(x) se hacen muy grandes y negativos al aproximarse x a x0. Notación Debido a que cuanto más se aproxima x a 0, (x−1)/x2 es un número negativo muy grande. Ejemplo Por ejemplo, si x = 0.01, También en este caso, que sea significa que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones. Límites en el Infinito Definición Una función tiene límite L cuando x se aproxima a +∞ o − ∞, si los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x se hace suficientemente grande (positiva o negativa). Notación y Ejemplo Debido a que cuando x crece, 1/x2 se aproxima a 0. Por ejemplo, si x = 1000, Que significa que la gráfica de la función tiene la asíntota horizontal y = 0. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Cálculo de Límites en el Infinito Para calcular límites en el infinito, se pueden seguir los siguientes pasos: ∞  (nº >0) = ∞ ∞  (nº <0) = −∞ ∞ + (cualquier nº finito) = ∞ (cualquier nº)/∞ = 0 ¡CUIDADO! Estas son indeterminaciones: ∞ − ∞, ∞  0 ∞0, ∞ /∞ Ejemplo ya que Porque tanto 1/x como 1/x2 tienden a 0 cuando x es muy grande. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones. Resumen El límite de una función cuando x tiende a x0 es el número al que se aproximan los valores de f cuando x  x0. Aproximar quiere decir que los valores de f se acercan al límite cuando x se acerca lo suficiente a x0. CUIDADO El valor de la función en x = x0 no afecta para nada al límite. Acercarse al valor límite significa acercarse más que cualquier distancia positiva dada ε por pequeña que sea. Acercarse a x0 se expresa como la existencia de un número positivo δ como en la imagen. x0 L ε δ Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä