Series y criterios de convergencia UNIDAD No. 5 Series Series y criterios de convergencia

SERIES El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {an} es la sucesión a1, a2, a3,..., an, ..., entonces la suma a1+ a2+ a3+ … + an+ … se le llama serie infinita. Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman los términos de la serie; ak se denomina término general. Se presentará una serie infinita en forma compacta como:

SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES Para cada serie infinita existe una sucesión de sumas parciales {Sn}, definida como sigue:

CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA Se dice que una serie infinita es convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es, El número S es la suma de la serie. Si no existe, se dice que la serie es divergente.

SERIES TELESCÓPICAS Determine si la serie infinita: es convergente o divergente

SERIES GEOMÉTRICAS A una serie infinita de la forma: se le denomina serie geométrica.

CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS Una serie geométrica converge a para |r|<1 y diverge para |r|>1. Demuestre lo anterior. Para ello: Determine Sn Multiplique Sn por r Efectúe la diferencia Sn-rSn

PROBLEMA Determine si la serie infinita es convergente o divergente. En caso de ser convergente, determine el valor de la suma.

SERIES ARMÓNICA Demuestre que la serie armónica es divergente.

CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE TEOREMA: Si la serie es convergente, entonces: Si no existe o si el , entonces la serie diverge.

PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE LA SUMA Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente y an=f(n). Entonces, la serie es convergente si y solo si la integral impropia: es convergente.

PROBLEMA Determine si la serie: es convergente. Estime el valor de la suma. Determine si la serie: es convergente.

SERIE P La serie p: converge si p>1 y diverge cuando p<1.

PRUEBAS DE COMPARACIÓN En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.

TEOREMA Suponga que y son series de términos positivos. Entonces: Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge. Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge.

PROBLEMA Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:

PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE Suponga que y son series con términos positivos. Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.

PROBLEMA Pruebe la convergencia o la divergencia de la serie: Utilice la prueba de comparación en el límite considerando: y .

SERIES ALTERNANTES Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos (alternando signo). Ejemplos:

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE Si la serie alternante: bn>0 satisface las siguientes dos condiciones: bn+1 < bn para toda n. entonces la serie converge.

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ La serie: es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos converge.

PROBLEMA Muestre que la serie: es absolutamente convergente.

PRUEBA DE LA RAZÓN Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y por lo tanto converge). Si o , entonces la serie diverge.

PROBLEMA Pruebe la convergencia absoluta de la serie:

PRUEBA DE LA RAÍZ Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente). Si o , entonces la serie es divergente.

PROBLEMA Compruebe la convergencia de la serie: