DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL

LÓGICA PROPOSICIONAL NÚCLEO TEMÁTICO Nº 1 Lic.Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional ¿Qué es la lógica? La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.- ¿Qué aporte le hace la Lógica a la Matemática? De acuerdo a la respuesta anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional ¿Qué es una proposición? Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa. Por ejemplo: Hoy es lunes Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea: p, q, r, s, t, u V F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional LOS CONECTIVOS LÓGICOS Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:  Ó -: NO : “Y” : “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA  : SI Y SOLO SI  : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Álgebra Moderna – Lógica Proposicional PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular. SIMPLE: p PROPOSICIÓN COMPUESTA: p  q

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional TABLA DE VALORES DE VERDAD ¿Qué es una tabla de valores de verdad? Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.- ¿Cuántos valores de verdad debe llevar una tabla? O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Operaciones proposicionales LA NEGACIÓN La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p ~ p V F F V Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional La disyunción o suma lógica La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional La conjunción o producto lógico La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional El condicional o la implicación El condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Condiciones necesarias y suficientes p q p  q p condición SUFICIENTE para q (q si p) q condición NECESARIA para p (p sólo si q) V F V F V F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional El bicondicional o la doble implicación El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F V F Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional La diferencia simétrica La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p v q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p  q V F V F F V Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Tautología Definición Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.- Por ejemplo: p q (pq)  [(pq)  (q p)] V V V F F V F F V F V V F V F V F 1 1 3 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Contradicción Definición Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen Por ejemplo: p q (p q)  - [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 F F V 4 V F 1 V F 3 V F 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Contingencia Definición Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen Por ejemplo: p q (p q) v [(p q)  (q  p)] V V V F F V F F V F 1 V F V F 1 V F 3 V F 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional LEYES LÓGICAS Una ley lógica es una proposición verdadera.- 1º) Involución La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición p -(-p)  p V F V F 2 V F V 1

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 2º) Idempotencia de la conjunción La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.- p (p  p)  p V F V F 1 V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 3º) Idempotencia de la disyunción La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.- p (p  p)  p V F V F 1 V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 4º) Conmutatividad de la conjunción La conjunción es conmutativa p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 5º) Conmutatividad de la disyunción La disyunción es conmutativa p q (p  q)  (q  p) V F 1 V V F 1 V F V F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 6º) Asociatividad de la conjunción La conjunción es asociativa p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 7º) Asociatividad de la disyunción La disyunción es asociativa p q r (p  q)  r  p  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 2 V F 1

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 8º) Ley de De Morgan (de la conjunción) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.- p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 9º) Ley de De Morgan (de la disyunción) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.- p q -(p  q)  -p  -q V F V F F V 2 V F 1 V F V 1 F V 3 F V 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción La conjunción es distributiva con respecto a la disyunción p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 1 V F 3 V F 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunción La disyunción es distributiva con respecto a la conjunción p q r (p  q)  r  (p  r)  (q  r) V F V F V F V F 1 V F 2 V V F 1 V F 3 V F 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 10º) Las implicaciones asociadas p  q Directa q  p Recíproca -p  -q Contraria -q  -p Contra - recíproca p  q Recíprocas q  p Contrarias Contra - recíprocas Contra - recíprocas Contrarias -p  -q Recíprocas -q  -p

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Propiedad Las implicaciones contrarecíprocas son equivalentes. O sea que: p q p  q  -q  -p V F V F V F 1 V F V 1 V F 3 F V 2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 11º) Negación de una implicación La siguiente proposición es una tautología, o sea: p q (p  q)  -(p  -q) V F V F V F 1 V V F 3 F V 2 F V 1 Ahora: -(pq)  -[-(p  -q)  p  -q Pero: -(pq)  -[-(p  -q)  -(-p  q) Ahora: (pq)  -(p  -q)  -p  q

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 12º) La doble implicación y la implicación La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. p q (p  q)  [(pq)  (qp) V F V F 2 V F V F 1 V V F 1 V F 3

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional 13º) La diferencia simétrica y la doble implicación La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. p q (p  q)  - (p  q) V F V F F V 1 V F V 2 V F 1

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional CIRCUITOS LÓGICOS EN SERIE EN PARALELO p p q q p  q p  q

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Circuito en serie p(V) q(V) V p q p  q p(V) q(F) V F V F V F F p(F) q(V) F p(F) q(F) F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional p(V) Circuito en paralelo V q(V) p(V) p q p  q V V F V F q(F) V F p(F) V q(V) p(F) F q(F)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional ¿Cómo se trabaja para hacer un circuito lógico de proposiciones que no son conjunciones, disyunciones o negaciones? Por ejemplo, sea p  q  -(p  q)  -[(pq)  (qp)]  -(pq)  -(qp)  (p  -q)  (q  -p) p -q q -p

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Premisas q Conclusión Un razonamiento es deductivo sí y sólo sí, las premisas son la evidencia de la verdad de la conclusión.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional (p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8 ... pn)  q V F V F V F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional (p1  p2  p3  p4  p5  p6  p7  p8 ... pn)  q V E R D A V E R D A VERDADERAS Un razonamiento deductivo se dice que es VÁLIDO, si no es posible que de premisas VERDADERAS se obtenga una conclusión FALSA

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Por ejemplo p1 p2 p3 p4::::::q p  q -r  -q -(-p  -t) t s -r s V V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Reglas de inferencias Llamamos reglas de inferencias a todo esquema válido de razonamiento. Algunas de ellas son: Ley de Modus Ponens p q p  (pq)  q p  (pq)  q V F V F V F V F V p pq q

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Ley de Modus Tolens -q  (pq)  -p p q -q  (pq)  -p V F V F F V F V V F V F V -q pq -p

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Ley del silogismo hipotético  (pq)  (qr)  (pr) p q r (pq)  (q r)  (p r) V F V F V F V F V F V F V V F pq qr pr

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Ley del silogismo disyuntivo -q  (pq)  p p q -q  (p q)  p V F V F F V F V V F V -q p  q p

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Por ejemplo: 1) 2) 3) 4) 5) p  q -r  -q -(-p  -t) t s -r s 1) p  q 2) q  r de 2 ICR 3) p  t de 3 LDM e INV 4) t  s 5) -r s 1) pr de 1)2) LSH 2) p t 3) ts 4) -r s 1) -p de 1)4) LMT 2) p  t 3) ts s 1) t de 1)2) LSD 2) t s s t(V) s(V) (V)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL Una función proposicional en una variable x es toda oración en la que figura la variable como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.- Por ejemplo: P(x): x es impar P(-4): -4 es impar (F) P(5): 5 es impar (V)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional P(x,y):x es divisor de y P(-2,6):-2 es divisor de 6 (V) P(10,2):10 es divisor de 2 (F) UNIVERSAL: x:P(x) CUANTIFICADORES EXISTENCIAL: x/P(x)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL Todos los números enteros son impares x:x es impar x:P(x) Negando el cuatificador queda: -x:x es impar -x:P(x) No Todos los números enteros son impares Existen números enteros que no son impares x/x no es impar x/-P(x) -x:P(x)x/-P(x)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Existen números enteros que son impares x/x es impar x/P(x) Negando el cuatificador queda: -x/x es impar -x/P(x) No existen los números enteros que son impares Todos los números enteros no son impares x:x no es impar x:-P(x) -x/P(x)x:-P(x)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional La negación de un cuantificador, es equivalente al otro cuantificador con la negación de la función proposicional Por ejemplo: Cualquiera que sea entero, existe otro que sumado a él de cero P(x,y): x+y=0 x,y/x+y=0 Su negación es: -x,y/x+y=0  x/-(y/x+y=0)  x/y:x+y≠0 -x,y/x+y=0  x/y:x+y0

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional RAZONAMIENTO INDUCTIVO Un razonamiento inductivo es aquel que partiendo de casos particulares, podemos generalizar, y demostrar de esta forma una propiedad.- Por ejemplo, demostrar la propiedad conmutativa de la adición en los números naturales 1+5 = 5+1 7+10 = 10+7 Si a y b   a+b=b+a 100+32=32+100

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional Un teorema es un esquema válido de razonamiento donde el conjunto de premisas se denomina HIPÓTESES y la conclusión TÉSIS TEOREMA En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. b A a’ c’ H) Sea T) a c D) Cortadas por

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional REDUCCIÓN AL ABSURDO En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. b A a’ c’ H) Sea T) a c D) H  T  -T  -H Cortadas por ¡ABSURSDO! 

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO IDEA Y REALIZACIÓN Lic. Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO FIN Departamento de Formación General 2013