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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena PROPOSICION
Enunciado al que se lo puede calificar o bien como Verdadero o bien como Falso. NOTACIÓN: Primeras letras del abecedario en minúscula Ejemplos: a: "Hoy es Lunes" b: "Estoy en la clase de Física" Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena NO PROPOSICIONES
¡Ojala deje de llover! ¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y quédate quieto. VALOR DE VERDAD Cualidad de una proposición de ser verdadera o de ser falsa. Verdadero: 1 Falso: Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
NEGACIÓN No Lenguaje Relacionado No es verdad que No es cierto que Símbolo : Tabla de verdad Ejemplos : "Hoy no es Lunes " 1 :“ No Estoy en la clase de Física" 1 Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena CONJUNCIÓN OPERADORES LÓGICOS
Lenguaje Relacionado “y” “pero” Símbolo: Ejemplo Tabla de verdad : "Tengo un lápiz" 1 1 1 : "Tengo un cuaderno" 1 : "Tengo un lápiz y un cuaderno " 1 Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena DISYUNCION INCLUSIVA
OPERADORES LÓGICOS DISYUNCION INCLUSIVA Lenguaje Relacionado “O” Símbolo: Ejemplo Tabla de verdad : "Tengo un lápiz" : "Tengo un cuaderno " 1 1 1 : "Tengo un lápiz o un cuaderno " 1 1 1 1 Moisés Villena
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“0……o.…..” LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena DISYUNCION EXCLUSIVA
OPERADORES LÓGICOS DISYUNCION EXCLUSIVA “0……o.…..” Lenguaje Relacionado “o bien……o bien…..” Símbolo: Significa: Ejemplo Tabla de verdad : “Daniel está en España " 1 1 : “Daniel está en Italia" 1 1 : “Daniel está en España o en Italia" 1 1 Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Lenguaje Relacionado “Si…..entonces.….” Símbolo: Ejemplo : “Apruebas el preuniversitario" : “Te regalaré un carro" : “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro" Tabla de verdad 1 1 1 1 1 1 1 Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Antecedente Hipótesis Premisa Consecuente Tesis Conclusión. OTROS LENGUAJES RELACIONADOS: a implica b b cada vez que a Basta a para b b siempre que a a sólo si b b puesto que a a solamente si b b porque a b si a b con la condición de que a Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Condición Necesaria y Condición Suficiente verdadera “a es condición suficiente para b” “b es condición necesaria para a” Ejemplo: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" 1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2" “Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2" 2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4" “Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4" Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena VARIACIONES OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) VARIACIONES LA RECÍPROCA: LA INVERSA: LA CONTRARRECÍPROCA: Ejemplo: “Iré a trabajar si me pagan” Si me pagan entonces iré a trabajar LA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me pagan LA INVERSA: Si no me pagan entonces no iré a trabajar LA CONTRARRECÍPROCA: Si no voy a trabajar entonces no me pagan Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena VARIACIONES OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) VARIACIONES Importante Condicional: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" RECÍPROCA: "Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4" Falso Contraejemplo: “6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4" Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena BICONDICIONAL OPERADORES LÓGICOS
Lenguaje Relacionado “…..si y sólo si.….” Símbolo: Significa: TABLA DE VERDAD 1 1 1 1 1 1 Ejemplo: : “Un triángulo es equilátero” : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida” : “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de igual medida” Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
No poseen operador lógico Formadas por varias proposiciones y operadores lógicos Compuestas: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de sus proposiciones simples. Ejemplo: Suponga que: Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Ejemplo: Determine el valor de verdad de las proposiciones simples sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta es VERDADERO. Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena FORMAS PROPOSICIONALES
Expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales. Ejemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena Ejemplo FORMAS PROPOSICIONALES
TAUTOLOGÍA Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales Ejemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CONTRADICCION: Si se obtienen sólo proposiciones falsas Si se obtienen proposiciones verdaderas y otras falsas. CONTINGENCIA: Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena IMPLICACIONES LÓGICAS Ejemplo
Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: Ejemplo Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena IMPLICACIONES LÓGICAS
Algunas implicaciones lógicas típicas son: Adición Simplificación Modus Ponens Modus Tollens Silogismo Disyuntivo Silogismo Hipotético Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena EQUIVALENCIAS LÓGICAS Ejemplo
Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: También: Ejemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena ALGEBRA DE PROPOSICIONES CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN Conmutativa Asociativa Idempotencia Identidad Absorción Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras:
Leyes distributivas Doble negación Leyes de De Morgan Contrarrecíproca Implicación Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras:
Ley del tercer excluido Ley de la contradicción Ley de exportación Reducción al absurdo Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena Solución: Contradicción Distributivas
EJEMPLO Demostrar: Solución: Identidad Contradicción Distributivas Idempotencia Distributivas Contradicción Identidad Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena Solución: Primero: Segundo:
Sea la proposición: EJEMPLO “Si tú eres inteligente y no resuelves el problema entonces desconoces la materia ” Siendo: m: Tú eres inteligente n: Tú resuelves el problema p: Tú desconoces la materia Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: a) Solución: b) Primero: Traducción: c) Segundo: d) Transformamos empleando el álgebra de proposiciones: e) Implicación Ley de De Morgan Asociativa de la disyunción Implicación Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena a: Hoy es jueves
Sea la proposición: EJEMPLO “Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga, entonces no voy a la Universidad” a: Hoy es jueves Siendo: b: Tengo que dar un examen c: Hay huelga d: Me voy a la Universidad Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: a) Solución: b) Primero: Traducción: c) Segundo: d) Transformamos : e) Contrarrecíproca Doble Negación Conmutativa Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena VALIDEZ RAZONAMIENTOS
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición compuesta que lo define, es tautológica. Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 1
EJEMPLO 1 "Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión" SOLUCIÓN: a: Aumenta la producción b: Aumentan los ingresos c: Se recupera la inversión Traducción: Forma proposicional: Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 1 EJEMPLO
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan De Morgan Asociativa Distributiva Del Tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del Tercero excluido Absorción para la disyunción Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 1 VALIDO EJEMPLO
Segundo Método: Reducción al Absurdo VALIDO Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 2
EJEMPLO 2 "Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, no aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo" a: Soy estudioso Solución: b: Aprobaré el curso c: Soy fiestero Traducción: Forma proposicional: Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 2 PRIMER MÉTODO:
Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan EJEMPLO 2 De Morgan Doble negación Asociativa Distributiva Del tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del tercero excluido Absorción para la disyunción Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 2 VALIDO
Segundo Método: Reducción al Absurdo EJEMPLO 2 VALIDO Moisés Villena
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LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena RAZONAMIENTOS 3 NO VALIDO
EJEMPLO 3 La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil. Por lo tanto, la Lógica es difícil. Solución: a: La lógica es difícil b: La lógica les gusta a muchos estudiantes c: La Matemática es fácil. NO VALIDO Moisés Villena
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