Álgebra elemental

Las cuatro operaciones fundamentales Productos notables y factorización Fracciones Ecuaciones de primer grado Funciones y gráficas Ecuaciones simultaneas de primer grado Exponentes radicales Ecuaciones de segundo grado Razones, proporciones y variaciones Logaritmos

Las cuatro operaciones fundamentales

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1. El sistema de los números reales

Las operaciones fundamentales Las operaciones fundamentales del álgebra son la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

Los números naturales El primer paso en la creación del sistema de los números reales fue la invención de los enteros positivos 1, 2, 3 ... , o números empleados para contar un conjunto de objetos.

Los números naturales

El concepto de cerradura Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

El concepto de cerradura Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural. Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma.

El concepto de cerradura Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

El concepto de cerradura Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural. Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de multiplicación.

El concepto de cerradura Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

El concepto de cerradura Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

El concepto de cerradura Lo mismo sucede en el caso de la división. El cociente de dos números enteros positivos, no es en general un número entero.

El concepto de cerradura Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema.

El concepto de cerradura Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema. Por ejemplo, no existe ningún entero positivo que sea igual a 5 - 9 ó a 5 ÷ 9. Esto es, la sustracción y la división sólo pueden aplicarse de manera limitada a los enteros positivos.

El concepto de cerradura Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.

El concepto de cerradura Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. Puesto que la suma y el producto de dos enteros positivos cualesquiera es también un entero positivo, entonces el conjunto de los enteros positivos es un conjunto cerrado con respecto a la adición y la multiplicación

El concepto de cerradura Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. En cambio, la diferencia y el cociente de dos enteros positivos no conduce siempre a un entero positivo, esto es, el conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división.

Necesidad de ampliar los números naturales Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. El conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división. Es así como se origina la necesidad de ampliar el sistema. (Recuérdese que el sistema numérico es una invención).

Los enteros negativos La solución de problemas prácticos, esencialmente la solución de ecuaciones, llevo, de manera natural, a la introducción de los números enteros negativos.

¿4-5=? Si tengo 4 pesos y un pan cuesta 5, ¿cuánto tengo? Los enteros negativos Si tengo 4 pesos y un pan cuesta 5, ¿cuánto tengo? ¿4-5=?

Los números enteros Así el conjunto de los números enteros está constituido por los números naturales, el cero y los números enteros negativos.

Los números enteros

Los números enteros El conjunto de los números enteros es cerrado para las operaciones de suma, resta y multiplicación.

Los números racionales ¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?

Los números racionales ¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1? Evidentemente esta pregunta no tiene respuesta “dentro de los números enteros”. El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división.

Los números racionales ¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1? El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división. Para responder esta pregunta tenemos que “inventar” los números racionales.

Los números racionales Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

Los números racionales Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

Los números racionales

Los números racionales

Los números irracionales

Los números reales

Interpretación de los números como distancias La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones del sistema numérico.

Interpretación de los números como distancias

Interpretación de los números como distancias Interpretación de los números como distancias. La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones mencionadas del sistema numérico. Para ello se usarán la línea recta indefinida L' L (Fig. 1.1), un punto O fijo sobre ella, y la unidad de distancia u. A la derecha de O se trazan intervalos de longitud u, obteniéndose los puntos que aparecen debajo de li línea. Luego, a partir del primer punto a la derecha de O, se colocan sucesi· vamente los enteros 1, 2, 3 ... Se tiene así la certeza de que cada uno de los puntos marcados en la línea está asociado tanto con uno de los números enteros como con una distancia que representa a cada uno

Definición del sistema de los números reales, Se define el conjunta de los números reales como el conjunto de los números r que se pueden asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera que cada punto R está a una distancia r del punto fijo O. Si R está a la derecha de O, r es positivo; si R está a la izquierda de O, r es negativo; si R coincide con O, r es cero, Cero no es positivo ni negativo y separa, además, a los números positivos de los números negativos.

El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue: El valor absoluto o valor numérico de un número real positivo es el número mismo. El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

El valor absoluto, es por tanto, siempre un número positivo. El valor absoluto o valor numérico de un número es el número “en si”, sin el signo. El valor absoluto, es por tanto, siempre un número positivo.

El valor absoluto de un número n, se representa por medio del símbolo y se puede imaginar como la distancia entre O y el punto que representa a n en la escala de los números reales.

El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue: El valor absoluto o valor numérico de un número real positivo es el número mismo. El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

2. Definiciones básicas

Definición de expresión Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

Definición de expresión Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

Definición de término Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término

Definición de término Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término

Definición de término Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término.

Definición de término Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior, el signo de un término es el signo que lo precede.

Definición de término Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior, el signo de un término es el signo que lo precede.

Coeficiente numérico Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

Coeficiente numérico Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

Coeficiente numérico Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término. Comúnmente al hablar del coeficiente numérico se dice simplemente el coeficiente.

Una expresión algebraica que contiene solamente un término se denomina Monomio Una expresión algebraica que contiene solamente un término se denomina monomio.

Binomio Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos se denomina bimonomio.

Trinomio Una expresión algebraica que contiene exactamente tres términos se denomina trinomio.

Multinomio Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se denominan multinomios.

Multinomio En realidad se le puede decir multinomio a cualquier expresión algebraica que contenga más de un término.

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.3 Adición y sustracción

Regla de la adición algebraica En álgebra los términos suma y diferencia se usan en el mismo sentido que en aritmética, si se aplican a números positivos. Sin embargo, su aplicación a números negativos hace necesario precisar el procedimiento de adición.

Esta operación más amplia, que se conoce como adición algebraica, se describe en el regla siguiente: La suma algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los dos números, precedida de su signo común; la suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números, precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.

Adición algebraica Para hacer la suma de varios términos que poseen las mismas letras, se efectúa la suma aritmética de los coeficientes y se agrega el grupo de letras.

Adición algebraica La suma de dos o más términos que contienen letras diferentes puede ser solamente expresada colocando un signo más entre ellos.

Por ejemplo, la suma de -1ab y 3cd es -1ab + 3cd. Adición algebraica La suma de dos o más términos que contienen letras diferentes puede ser solamente expresada colocando un signo más entre ellos. Por ejemplo, la suma de -1ab y 3cd es -1ab + 3cd.

Propiedad conmutativa de la adición En aritmética se puede comprobar que, para cualquier par de números que se ensaye, la suma es la misma independientemente del orden en que se efectúe la adición. Esto se conoce como la propiedad conmutativa de la adición. Consideraremos que esto es cierto para todos los números y tendremos entonces el axioma siguiente:

Propiedad conmutativa de la adición

Propiedad asociativa de la adición Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es que la suma es la misma independientemente del orden en el cual los números se adicionen.

Propiedad asociativa de la adición Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es que la suma es la misma independientemente del orden en el cual los números se adicionen. Por ejemplo, 2 + 3 + 7 = 5 + 7 = 2 + 10 = 9 + 3 = 12.

Propiedad asociativa de la adición Consideraremos que esta propiedad, conocida como la propiedad asociativa de la adición, es válida para todos los números. De ese modo tenemos el axioma siguiente, en el cual los paréntesis se usan para indicar el orden en que se efectúa la adición:

Propiedad asociativa de la adición

Estos dos axiomas son la base del procedimiento usual para encontrar la suma de dos o más expresiones. Esto es, del procedimiento en el cual se escribe cada expresión debajo de la que le precede, y al mismo tiempo, se ordenan los términos de tal modo que los que contienen las mismas letras queden formando columnas.

Adición algebraica. Ejemplo

Regla de la sustracción algebraica

Regla de la sustracción algebraica

Regla de la sustracción algebraica Con ello se verifica la regla usual de la sustracción: Para restar una cantidad de otra se cambia el signo del “sustraendo” y se procede como en la adición.

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.4 Símbolos de agrupación

Símbolos de agrupación Cuando un grupo de términos en una expresión algebraica van a ser manejados como un solo número, se encierran en paréntesis, ( ); en corchetes, [ ]; o bien en llaves, { }.

Símbolos de agrupación Estos símbolos se usan también para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones algebraicas y el orden en el cual deben efectuarse.

Símbolos de agrupación Con objeto de efectuar las operaciones indicadas mediante el uso de los símbolos de agrupación, se necesita quitar dichos símbolos antes de llevar a cabo la operación final.

Símbolos de agrupación Si la operación indicada es la adición, se puede, por el axioma de la asociatividad, omitir los símbolos de agrupación y combinar los términos en el orden que se desee.

Símbolos de agrupación Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el sustraendo.

Símbolos de agrupación Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el sustraendo. Por tanto, de acuerdo con la definición de sustracción, se cambian todos los signos del sustraendo, se omiten los símbolos de agrupación y se combinan después los términos en el orden que se desee.

Reglas para eliminar símbolos de agrupación Se tiene el siguiente procedimiento para eliminar los símbolos de agrupación en una expresión algebraica: Si en una expresión algebraica es necesario eliminar la pareja de símbolos de agrupación precedido por un signo menos, debe cambiarse el signo de cada uno de los términos encerrados por estos símbolos.

Reglas para eliminar símbolos de agrupación Se tiene el siguiente procedimiento para eliminar los símbolos de agrupación en una expresión algebraica: Sin embargo, si los símbolos de agrupación están precedidos por un signo más, pueden eliminarse sin ningún cambio en la expresión.

Reglas para insertar símbolos de agrupación Si en una expresión algebraica es necesario insertar un par de símbolos de agrupación precedido de un signo menos, deben cambiarse los signos de cada uno de los términos que quedan encerrados.

Reglas para insertar símbolos de agrupación Cuando una expresión algebraica contiene uno o más pares de símbolos de agrupación, encerrados en otro par, se eliminará primero el de más adentro.

Ejercicios

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.5 Multiplicación

Multiplicación

Multiplicación Multiplicador Multiplicando

Multiplicación Producto

Factores del producto Cada uno de los números que aparecen en el producto, o el producto de dos o más de ellos, es un factor del producto.

Ya que cualquier número n es igual a n×1 Factores del producto Ya que cualquier número n es igual a n×1 resulta que n es un factor de sí mismo.

Factores del producto Cualquier número que no tenga otro factor que él mismo y uno, se llama número primo.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Propiedad asociativa de la multiplicación

Propiedad distributiva de la multiplicación

Ley de los signos de la multiplicación

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.6 Exponentes en la multiplicación

a cuadrada

a cúbica

a a la n

a a la n

La base y el exponente

La base y el exponente El exponente La base

Primera ley de los exponentes en la multiplicación

Primera ley de los exponentes en la multiplicación

Segunda ley de los exponentes en la multiplicación

Segunda ley de los exponentes en la multiplicación

Tercera ley de los exponentes en la multiplicación

Tercera ley de los exponentes en la multiplicación

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.7 Productos que incluyen multinomios

Multiplicación de un monomio por un multinomio

Multiplicación de dos multinomios

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.8 Los exponentes en la división

La división

La división

La división Dividendo Cociente Divisor

La división

La división

Primera ley de los exponentes en la división

Primera ley de los exponentes en la división

Segunda ley de los exponentes en la división

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.9 Divisiones que incluyen multinomios

División de un multinomio entre un monomio

División de un multinomio entre un monomio

División de un multinomio entre un monomio

División de un multinomio entre un monomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio

División de un multinomio entre un multinomio Ejemplo 1

División de un multinomio entre un multinomio Ejemplo 2

1. Las cuatro operaciones fundamentales El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

1.10 Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero

Operaciones en que aparece el cero