Prof. Evelyn Dávila Proyecto MSP21- FASE II Academia Sabatina FUNCIÓN CUADRÁTICA Prof. Evelyn Dávila Proyecto MSP21- FASE II Academia Sabatina

La forma general de una función cuadrática es; , donde a,b y c son números reales. Ejemplos a= 4, b= 12 , c= 9 a= 2, b= 5 , c= -3 a= 1, b= 0 , c= 25

La gráfica de una función cuadrática es una parábola; ésta representa el conjunto solución de la función.

La función cuadrática básica es . Su gráfica es la siguiente x y 2 4 1 -1 -2

CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Dada en la forma estándar Dominio - los números reales

Concavidad El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parábola: Si a>0 . es cóncava hacia arriba Si a<0, es cóncava hacia abajo a>0 a<0

Vértice El vértice es el punto mínimo en una parábola cóncava hacia arriba y es el punto máximo en una parábola cóncava hacia abajo. La coordenada de el vértice es dada por :

Vértice Punto máximo Punto mínimo

Simetría La parábola es simétrica con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice y cuya ecuación es dada por .

La parábola puede tener hasta un máximo de dos interceptos en x.

En general podemos encontrar uno de los siguientes casos: Tiene dos interceptos en x: la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice se encuentra bajo el eje de x ó es cóncava hacia abajo y su vértice se encuentra sobre el eje de x. Tiene un intercepto en x; el vértice se encuentra sobre el eje de x. No tiene intercepto en x: esta parábola no intercepta el eje de x y se encuentra en el primer y segundo cuadrante ó se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante.

Procedimiento para hallar el(los) interceptos en el eje de x Igualar la función a cero y hallar las raíces mediante el método de factorización o la fórmula cuadrática. En esos valores ocurren los interceptos. Fórmula cuadrática

Intercepto en y La parábola tiene un intercepto en y y la coordenada de ese punto es (0,c). Para ; ,

EJEMPLO 1 Parámetros a = 2, b = 5, c = -3 DOMINIO Números Reales Concavidad a = 2 Cóncava hacia arriba Vertice ( -1.25, -1.31 ) Punto mínimo

EJEMPLO 1 (continuación) Eje de simetría x = -1.25 Interceptos en el eje de x ( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )

EJEMPLO 1 (continuación) Interceptos en el eje de y (0 , -3 ) GRAFICA

EJEMPLO 2 Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4 Dominio Números reales Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo

EJEMPLO 2 (continuación) Interceptos en x f(x) = 0 Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula cuadrática. Fórmula cuadrática Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )

EJEMPLO 2 (continuación)

EJEMPLO 3 Parámetros a = 3 , b = 7, c = - 6 Dominio Números reales Concavidad a = 3 Cóncava hacia arriba Vértice ( -1.17, -10.1 ) Punto mínimo

EJEMPLO 3 (continuación) Eje de simetría x = 1.17 Interceptos en el eje de x ( 0.67 , 0 ) y ( - 3 , 0 )

EJEMPLO 3 (continuación)

Práctica Parámetros Dominio Concavidad Vértice Simetria Intercepto(s) en x Intercepto en y GRAFICA

Práctica Parámetros a = 4 , b = 12, c = 9 Dominio Números reales Concavidad a = 4 Cóncava hacia arriba Vértice ( -1.5,-14.9 ) Punto mínimo

Práctica – continuación

Aplicaciones Caida libre de un objeto El modelo matemático para describir la posición de un objeto en caída libre es dado por Donde a , es la constante de aceleración debido a la gravedad, velocidad inicial y la posición inicial. La constante de aceleracion es dada por

Un objeto es lanzado hacia arriba desde un edificio, a una altura de 100 pies a una velocidad inicial de 5 millas por hora. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto? ¿Cuánto tiempo le toma al objeto tocar el piso?