UNIDAD 1: LOS NúMEROS REALES

1.3 Propiedades de los números reales. 1.1 La recta numérica. 1.2 Los números reales. 1.3 Propiedades de los números reales. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. 1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

1.1. LA RECTA NUMERICA

A. DEFINICIÓN: Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

B. REPRESENTACIÓN: Esta dividida en dos mitades simétricas. Números negativos Números positivos cero

C. APLICACIÓN: Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un numer es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Se considera 0 el nivel del mar Para medir altitudes. los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos Se considera 0 el nivel del mar Los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

Para medir temperaturas.

1.2. LOS NÚMEROS REALES

A. DEFINICIÓN: Es la unión de los números racionales e irracionales.

B. CLASIFICACIÓN:

Números naturales (N): Es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... Que se pueden usar para contar elementos o cosas. N= {0, 1, 2, 3,..}

Números enteros (Z): Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación de suma. Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}

(fraccionarios, o quebrados): Números racionales (Q) (fraccionarios, o quebrados): Cuando un numero se puede escribir en forma fracción. Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación. Q= {... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, 4.1515......}

Números irracionales (I): No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

C. REPRESENTACIÓN: De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada punto de ella un número real.

D. APLICACIÓN: Los números reales pueden representar cualquier medida tal como: El precio de un producto La altitud (positiva o negativa) de un lugar geográfico La densidad de un átomo o la distancia de la más lejana de las galaxias.

Por ejemplo: En economía En informática En matemáticas En física En ingeniería

1.3. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES (PROPIEDAD DE ORDEN)

1.3.1. TRICOTOMÍA A. DEFINICIÓN: Es una división en tres partes. Es una propiedad de vital importancia para la matemática. Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:

1.3.2. TRANSITIVIDAD A. DEFINICIÓN: Relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando siempre un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero.

Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

1.3.3. DENSIDAD A. DEFINICIÓN: Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya que todo número tiene vecinos racionales e irracionales cercanos a él. Ejemplo: √2=1,1.4,1.41,1.412…….

1.3.4 AXIOMA DEL SUPREMO A. DEFINICION: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.

1.4. INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES.

A. DEFINICIÓN DESIGUALDADES: Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que sea verdadera.

Representación grafica Intervalo Abierto (a,b) Nombre Símbolo Definición Representación grafica Intervalo Abierto (a,b) Intervalo cerrados [a,b] Intervalos Semiabiertos (a,b] [a,b) Intervalos Infinitos (a,∞) [a,∞)

NOTACIÓN DEL INTERVALO INTERVALOS ABIERTOS REPRESENTACIÓN NOTACIÓN DEL CONJUNTO 𝒂<𝒙<𝒃 NOTACIÓN DEL INTERVALO (𝒂,𝒃)

NOTACIÓN DEL INTERVALO INTERVALOS CERRADOS REPRESENTACIÓN NOTACIÓN DEL CONJUNTO 𝒂≤𝒙≤𝒃 NOTACIÓN DEL INTERVALO [𝒂,𝒃]

(𝒂,𝒃) Intervalos semiabiertos por la derecha Intervalos semiabiertos por la izquierda Intervalos semiabiertos por la derecha Son los cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha: Son los abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha:

¿ES CORRECTO ESCRIBIR?

por la izquierda abierto INTERVALOS INFINITOS REPRESENTACIÓN por la izquierda abierto por la derecha abierto por la izquierda cerrado por la derecha cerrado

< menor que ≤ menor que o igual que ≥ mayor que o igual que REPASO < menor que ≤ menor que o igual que ≥ mayor que o igual que > mayor que

EJEMPLOS 1 2 3 4 5 6 7 (5,∞)

EJEMPLOS 1 2 3 4 5 6 7 (-∞,7)

EJEMPLOS -6 -5 -4 -3 -2 -1 (-∞,-2]

EJEMPLOS 2 3 4 5 6 7 8 [8,∞)

1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA.

A. DEFINICIÓN DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO. Es todo enunciado abierto que tiene el signo > ó <, con una sola variable y con exponente 1. ax + b > c ax + b < c

w + 5 < 8 w + 5 + (-5) < 8 + (-5) w + 5 < 8 -5 -5 1 2 3 -20 -15 -10 -5 -25 4 5 3

B. DEFINICIÓN DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA INCOGNITA. Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes: ax2+bx+c>0  ax2+bx+c<0 ax2+bx+c ≥0 ax2+bx+c ≤ 0

??? x²+ x-2 < 0 (x-1)(x+2)< 0 Formula general (x+2)=0 x< -2 1 2 3 -4 -3 -2 -1 -5 4 5

1.6. VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

El valor absoluto está relacionado con las nociones de: Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras. El valor absoluto está relacionado con las nociones de: Magnitud Matemáticos y físicos Distancia

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:   Nota: Estos casos solamente los podrás utilizar si el valor de “b” es un numero natural positivo.

1.7. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO