Cálculo diferencial (arq) Regla de la cadena
REGLA DE LA CADENA Regla generalizada de la potencia
¿Cómo se puede derivar la siguiente función? Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del binomio…. y derivar la función resultante Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar Por supuesto, el problema no pasa por elevar el binomio a la potencia 20.
Con el fin de hallar una regla para estos casos, analicemos el primer ejemplo. Podríamos conjeturar que la derivada de la función es Es decir, estamos considerando la función interior como si fuera una variable (u) Calculando la derivada de la expresión desarrollada se obtiene
Regla generalizada de la potencia Se observa, que derivar con la regla de potencias no es suficiente cuando se tiene la potencia de una función, faltó el factor que es justamente la derivada de dicha función. Regla generalizada de la potencia Suponga que g(x) es una función de x. Luego, para cualquier número real k,
El paso 3 por lo general se omite. Ahora, se va a derivar . Hay tres pasos a seguir. u 1. Se bloquea la función 2. Se deriva la función externa 3. Se multiplica por la derivada de la función interna u. El paso 3 por lo general se omite. OJO!!!!...no olvidarlo
Ejemplo 1: Derivar
Ejemplo 2: Derivar
Ejemplo 3: Derivar
Ejemplo 4: Derivar
Regla de la cadena Cuando analizamos el ejemplo inicial, pudimos, a partir de , plantear: Esta última expresión se puede derivar respecto a u. Pero nosotros deseamos hallar por lo que escribimos
Lo cual es cierto desde el punto de vista de las fracciones algebraicas, pero una derivada es el límite de una razón de cambio, no una fracción. Sin embargo, apliquemos la última expresión a nuestro problema. Y esto es correcto según la diapositiva 4
Regla de la cadena Por lo tanto, podemos generalizar la regla de la cadena para derivadas
Ejemplo 5: Derivar Solución: Hacemos entonces escribimos reemplazando u Rpta
Tarea de Conciencia Ejercicios 3.5 (pág. 221) 7; 9; 11; 13; 21; 23; 41; 47; 51; 57.