ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO DÍA 14 * 1º BAD CS ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN DE 2º GRADO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO .‑ Es aquella que, tras pasar todo a un lado de la igualdad, el polinomio característico es de 2º grado. Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 Para hallar la solución o valores de x que cumplen la igualdad, se pueden dar varios casos: CASO 1.‑ Que a=0  La ecuación NO es de segundo grado. CASO 2.- Que b = 0  Ecuación incompleta. CASO 3.- Que c= 0  Ecuación incompleta. CASO 4.- Que b=0 y c=0  Solución: x=0 CASO 5.- Que a, b y c <> 0  Ecuación completa.

ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 1.‑ Tiene la forma a.x2 = 0 Paso 1.- x2 = 0/a Dándonos las dos raíces iguales a 0.

Ejemplos x2 = 0  x = 0 3.x2 = 0  x2 = 0/3  x2 = 0  x = 0 - 5.x2 = 0  x2 = 0/(- 5)  x2 = 0  x = 0 5 -- x2 = 0  x2 = 3.0 / 5  x2 = 0  x = 0 3

ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 2.‑ Tiene la forma a.x2 + c = 0 Paso 1.- a.x2 = - c Paso 2.- x2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen.

EJEMPLO Sea x2 - 4 = 0 Paso 1.- x2 = 4 Paso 2.- x2 = 4 / 1 = 4 Paso 3.- x = +/- √ 4 Dándonos las dos raíces: x = +/- 2 x1 = + 2 x2 = - 2

EJEMPLO Sea 2.x2 - 18 = 0 Paso 1.- 2.x2 = 18 Paso 2.- x2 = 4 / 2 = 9 Paso 3.- x = +/- √ 9 Dándonos las dos raíces: x = +/- 3 x1 = + 3 x2 = - 3

CASO 3.- Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 Clave: Sacar factor común a x. Paso 1.- x . (a.x + b ) = 0 Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz

EJEMPLO Sea 2.x2 + 8.x = 0 Paso 1.- x . (2.x + 8 ) = 0 Paso 2.- x = 0 es una raíz Paso 3.- 2.x + 8 = 0 de donde x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz x1 = 0 x2 = - 4

EJEMPLO Sea 3.x2 -- 6.x = 0 Paso 1.- x . (3.x -- 6 ) = 0 Paso 2.- x = 0 es una raíz Paso 3.- 3.x -- 6 = 0 de donde 3.x = 6 x = 6 / 3 = 2 es otra raíz x1 = 0 x2 = 2

EJEMPLO CASO 3.- Sea 4.x2 -- 3.x = 0 Paso 1.- x . (4.x -- 3 ) = 0 Paso 2.- x = 0 es una raíz Paso 3.- 4.x -- 3 = 0 de donde 4.x = 3 x = 3 / 4 es otra raíz x1 = 0 x2 = 3 / 4 = 0,75

Ecuación de segundo grado completa Tiene la forma: a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son distintos de cero. Se resuelven aplicando la fórmula: - b +/- √(b2 – 4.a.c) x1 x = ---------------------------- = 2.a x2 Deducimos la fórmula …

Resolución de ecuaciones completas 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) Con el + hallamos una x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra 2.a

Ejemplo 1 Sea x2 - 3.x + 2 = 0 a = 1 b = - 3 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 3) +/- √(9 – 4.1.2) x = -------------------------------- = 2.1 + 3 +/- 1 (3+1) / 2 = 2 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (3 – 1) / 2 = 1 = x2 Otra solución

Ejemplo 2 Sea 3.x2 - 5.x + 2 = 0 a = 3 b = - 5 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 5) +/- √(25 – 4.3.2) x = -------------------------------- = 2.3 + 5 +/- 1 (5 + 1) / 6 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 6 (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x2 Otra solución

Ejemplo 3 Sea 2.x2 + x - 3 = 0 a = 2 b = 1 c = - 3 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - 1 +/- √(1 – 4.2.(-3)) x = -------------------------------- = 2.2 - 1 +/- 5 (-1 + 5) / 4 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 4 (– 1 – 5) / 4 = - 6 / 4 = - 3 / 2 = x2 Otra.

Ejemplo 4 Sea x2 + 6.x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - 6 +/- √(36 – 4.1.9) x = -------------------------------- = 2.1 - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x2 Otra solución. Cuando b2 – 4.a.c = 0 el valor de las dos soluciones coincide.

DISCRIMINANTE Llamamos discriminante, Δ, en una ecuación de segundo grado al valor de: Δ = b2 ‑ 4.a.c Presentándose tres casos, según su valor: Si Δ > 0 , las dos raíces son reales y distintas. Si Δ = 0 , las dos raíces son reales e iguales ( raíz doble ). Si Δ < 0 , las raíces no son reales.

EJEMPLOS: Caso 1.- x2 + 2.x + 3 = 0 b2 ‑ 4.a.c = 4 – 4.1.3 = 4 – 12 = - 8 La ecuación no tiene soluciones reales Caso 2.- x2 + 2.x + 1 = 0 b2 ‑ 4.a.c = 4 – 4.1.1 = 4 – 4 = 0 La ecuación tiene las dos soluciones iguales. Caso 3.- x2 - 3.x + 2 = 0 b2 ‑ 4.a.c = 9 – 4.1.2 = 9 – 8 = 1 La ecuación tiene dos soluciones distintas.

FACTORIZACIÓN Un trinomio de 2º grado, a.x2 + b.x + c, con las raíces x1 y x2 se puede descomponer siempre de la siguiente manera: a.x2 + b.x + c = a.(x – x1).(x – x2) Ejemplos: x2 – 3.x + 2 tiene como raíces x=1 y x=2 Podemos poner: x2 + 3.x + 2 = (x – 1 ).(x – 2 ) x2 – 5.x + 6 tiene como raíces x=2 y x=3 Podemos poner: x2 – 5.x + 6 = (x – 2 ).(x – 3 )

Más EJEMPLOS: x2 + 2.x + 3 no tiene raíces reales No se puede factorizar x2 + 2.x + 1 tiene las dos raíces iguales x=-1, x=-1 Podemos poner x2 + 2.x + 1 = (x + 1).(x + 1) 3.x2 + 5.x – 8 tiene como raíces x=1 y x=- 8/3 Podemos poner: 3.x2 + 5.x – 8 = 3.(x – 1 ).(x + 8/3) 5.x2 – 7.x – 34 tiene como raíces x=-2 y x= 17/5 Podemos poner: 5.x2 – 7.x – 34 = 5.(x + 2 ).(x – 17/5) Importante: Hay que darse cuenta de que cuando el valor de la raíz es negativo, el factor es de la forma (x + …), en lugar de (x – …)