“Ángulos” Facilitador: UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS ESCUELA DE MATEMÁTICA GEOMETRÍA I C.R.U. de ColónMgtr. José Rodríguez G.

ANGULOS Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que se cortan en un punto llamado vértice. O A B O = Vértice OAOB = Se llaman Lados y El ángulo de la figura puede nombrarse de las siguientes formas. O : Ángulo en O, o ángulo de Vértice O AOB: Ángulo de Vértice O y de lados OA y OB Utilizando letras griegas como , Alfa ;  Beta ;  Gamma ;  Delta etc. 

Un ángulo se determina en términos de una rotación o giro de una semirrecta sobre el origen. Lado Inicial L a d o T e r m i n a l O A B La posición inicial de la semirrecta se llama LADO INICIAL y la posición final se llama LADO TERMINAL. ANGULO GENERADO

ANGULO EN POSICION NORMAL Un ángulo esta en posición normal cuando el vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas cartesianas, y su lado inicial es el semieje positivo de las abscisas. Lado Inicial Lado Terminal Lado Inicial Lado Terminal I II III IV x y x y x y x y

ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS Un ángulo en posición normal es POSITIVO cuando se ha formado haciendo girar el lado terminal en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, y es NEGATIVO cuando se forma al hacer girar el lado terminal en el sentido de las manecillas del reloj. x y x y x y x y     POSITIVO NEGATIVO

CLASIFICACION DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Dos rectas perpendiculares forman 4 regiones iguales, y cada una de ellas determina un ángulo recto = 90 grados ANGULO RECTO. Es el ángulo que mide 90 grados AOB = 90° A O B

ANGULO AGUDO. Es el ángulo que mide menos de 90 grados CVD = AGUDO C V D ANGULO OBTUSO. Es el ángulo que mide mas de 90 grados AOB = OBTUSO A O B

ANGULO LLANO. Es el ángulo que mide 180 grados AOB = 180° A O B ANGULO COMPLETO. Es el ángulo que mide 360 grados AOB = 360° A B O

ANGULO CONCAVO. Es el que mide más de 180° pero menos de 360° ANGULO CONVEXO: Es el que mide menos de 180°   180 <  < 360°  < 180°

LOS ANGULOS SEGÚN EL VERTICE Y LOS LADOS PUEDEN SER Ángulos Adyacentes o consecutivos Lado común   Dos ángulos son adyacentes o consecutivos cuando tienen el mismo vértice y un lado común.  +  mismo vértice La medida del ángulo que forman es igual a la suma de los dos ángulos

Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice; si tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación del otro   A B C D O AOB = COD AOC = DOB   =   =  

El transportador Es un instrumento, que sirve para medir la amplitud de los ángulos. Está dividido en 180 o 360 partes iguales y cada una de esas partes se denomina grado sexagesimal. Es la unidad de medida de los ángulos y se representa por º ¿Cómo se utiliza? El elegir una u otra dependerá del sentido de la abertura del ángulo Posee dos escalas, una exterior graduada de derecha a izquierda y por tanto mide en sentido contrario a las agujas del reloj. y otra interior graduada en sentido contrario y que mide en el mismo sentido de las agujas del reloj.

Haz coincidir el vértice del ángulo con el centro del transportador (suele venir marcado con una línea vertical o un punto) Así mismo el lado inicial del ángulo con la marca horizontal del transportador Sobre la marca graduada busca el valor, en nuestro ejemplo 39; señala el punto B, luego, con una regla se une el vértice con el punto B para obtener el ángulo  BAC= 39°

CONSTRUYA ANGULOS DE LAS SIGUIENTES MEDIDAS 30°, 45°,60°, 90°,120°,150°,180° 30° 45° 90° 60° 120° 150° 180°

CONSTRUYA ANGULOS DE LAS SIGUIENTES MEDIDAS 210°, 225°,240°, 270°,300°,330°,360° 210° 225° 270° 240° 300° 330° 360° 180° - 30° - 60° - 90° - 120° - 135° - 150° - 180° 0°

LOS ANGULOS SEGÚN SU SUMA PUEDEN SER: Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios; si forman un ángulo recto es decir entre los dos suman 90º   Ángulos suplementarios  +  = 90° Dos ángulos son suplementarios; si forman un ángulo llano es decir entre los dos suman 180º    +  = 180°

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas m, n ; cortadas por una recta r transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan: ÁNGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE m n r oIoInternos oEoExternos oAoAlternos Internos oAoAlternos externos oCoCorrespondientes

Son los que se encuentran entre las rectas paralelas ÁNGULOS INTERNOS O INTERIORES m n r , 4, 5, 6 Internos o interiores

Son los que se encuentran en la zona exterior de las paralelas ÁNGULOS EXTERNOS O EXTERIORES m n r 1, 2, 7, 8 Externos o Exteriores

m n r Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí. ANGULOS CORRESPONDIENTES Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas El ángulo 1 se corresponde con el ángulo 5 El ángulo 2 se corresponde con el ángulo 6 El ángulo 4 se corresponde con el ángulo 8 El ángulo 3 se corresponde con el ángulo

m n r ANGULOS ALTERNOS INTERNOS Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas: Los ángulos internos son 5, 3, 4 y 6. Si los tomamos alternadamente, tendríamos que: Los ángulos 5 y 4, Alternos Internos Los ángulos 3 y 6, Alternos Internos Los angulos alternos internos son iguales entre sí.

m n r ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas: Los ángulos externos son: 1, 7, 8 y 2 Si los tomámos alternadamente tendremos que: Los angulos 7 y 2 alternos externos. Los angulos 1 y 8 alternos externos Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

BISECTRIZ DE UN ANGULO La bisectriz de un ángulo es la recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales β BISECTRIZ

m n r A B G H OBSERVE LA FIGURA Y CONTESTE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS F E CD Rta.1 / Adyacentes y suplementarios. 1. ¿Cómo son los ángulos A y B? 2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos A y D? 3. ¿Son suplementarios los ángulos B y D? 4. ¿Son iguales los ángulos B y C? ¿Por qué? 5. ¿Son correspondientes los ángulos C y H? 6. ¿Cómo son los ángulos D y F? 7. ¿Es el ángulo F correspondiente al ángulo C? 8. ¿Son iguales los ángulos E y G ? ¿Por qué? 9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos A y G ? 10. ¿Son alternos internos los ángulos E y F? Rta. 2 / Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno. Rta. 3 / Sí, juntos valen 180º. Rta. 4 / Sí, por ser opuestos por el vértice. Rta. 5 / Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un ángulo interior y el otro un ángulo exterior. Rta 6. / Son ángulos interiores. Rta 7. / No porque no están situados al mismo lado de la secante y además, los dos son interiores. Rta. 8 / Sí por estar opuestos por el vértice. Rta. 9 / Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas. Rta 10. / No porque no son alternos y además, los alternos internos son iguales entre sí. Click en cada pregunta para ver respuesta

En la columna numero, coloque el numero según corresponda la respuesta; a la pregunta respectiva NoPREGUNTANoRESPUESTA 1Agudo3Si suman 90 grados 2Angulo Recto4Instrumento para medir ángulos 3Ángulos complementarios2Angulo que mide 90 grados 4Transportador5Mide mas de 90 grados 5Angulo obtuso1Mide menos de 90 grados 6Angulo cóncavo10Tienen un lado común y el mismo vértice 7Angulo Suplementarios8Mide menos de 180 grados 8Angulo Convexo7Si suman 180 grados 9Angulo Completo9Es el ángulo que mide 360 grados 10Ángulos consecutivos6Angulo mayor a 180 grados y menor a 360 grados 11Angulo agudo14Si se determina por giro de una semirrecta sobre el origen 12Angulo15Tienen el mismo vértice y los lados del uno son prolongación del otro 13Angulo positivo12Abertura formada por dos semirrectas que se cortan en un punto llamado vértice 14Angulo generado11Angulo que mide menos de 90 grados 15Ángulos opuestos por el vértice13Angulo medido en el sentido de las agujas del reloj 16Angulo de 35 grados17Es el complemento del ángulo de 10 grados 17Angulo de 80 grados16Es el suplemento del ángulo de 145 grado

Recursos Utilizados: Apuntes de Geometría. Edmundo Narváez. Colombia 2014.