Vladimir Quelca Quispe Newton-Raphson
1.Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x 1, y 1 ) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. 2.Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x 1, y 1 ) y localizar los cuatro puntos u(x 1, y), v(x 1, y), u(x, y 1 ) y v(x, y 1 ). 3.Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x 1, y) y u(x, y 1 ) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x 1, y) y v(x, y 1 ) 4.El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x 2, y 2 ) del punto de intersección de las dos funciones 5.El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección (x n, y n ) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.
u(x, y) v(x, y) x y x1x1 y1y1 v(x, y 1 ) v(x 1, y) u(x, y 1 ) u(x 1, y)
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales. Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz. Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:
u = x^2-y-1=0 v= (x-2)^2+(y-0,5)^2 -1=0 x = 1,54634 y = 1,39118 Raíces Elegimos coordenadas de un punto u x = 2x = 4 v y = 2(y-0,5) = 3 v x = 2(x-2) = 0 u y = -1 = -1
0 Y cuya solución es: 0 Donde J es el determinante jacobiano del sistema es: J= ( 4*3 —0*(—1) ) =12
iteración xixi yiyi uiui vivi u x v x u y v y Jacobiano , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,87449E-02,88774E-03, , , , , , ,9952E-154,66294E-13, , , , , , , , , , x = 2y = 2
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES