BALANCE DE PROCESOS TRANSITORIOS

En los sistema en estado transitorio (o no estacionario): Ejemplos: Sistemas intermitentes Semicontinuos Continuos (sólo durante el arranque) Variables f(t)

Recordando ecuación general de balance: Tipos Balances diferencialesBalances integrales Velocidades de cambio instantáneas en cierto momento Cambios durante un periodo de tiempo finito

Especie A Velocidades a las cuales A entra y sale del proceso Velocidades de generación y consumo de A Todas función de t Balances diferenciales

Balance para A de t a t + ∆t Del la ecuación general de balance:

Del balance anterior: Ecuación general de balance diferencial La ecuación de balance para un sistema no estacionario en un instante dado de tiempo es una ecuación diferencial

Debido a que la expresión anterior es una ecuación diferencial común de primer orden, para resolverla es necesario una condición frontera – un valor específico dependiente de ( M ) para cierto valor de la variable independiente ( t ) –. Comúnmente: Condición inicial

Ejemplo #1 Un reactor continuo con agitación se emplea para producir el compuesto R en la reacción de fase líquida A→R. La alimentación entra al reactor a una velocidad (L/s); la concentración del reactivo en la alimentación es C A0 (mol A /L). El volumen del contenido del tanque es V (L). La mezcla en el recipiente se puede considerar perfecta de modo que la concentración de A en la corriente de producto es igual a la del tanque. En este proceso, la velocidad de consumo de A es igual a kC A [mol/(s·L de volumen de reacción)]. Puede considerar que todos los fluidos (la alimentación, el contenido del tanque y el producto) tienen la misma densidad, ρ (g/L). Escriba los balances diferenciales para la masa tota y los moles de A, expresándolos en términos de las variables que se muestran en el siguiente diagrama:

Base: cantidades dadas Balance total de masa (generación = 0, consumo = 0) V 0 volumen inicial del contenido del tanque

Balance de A C A (0) concentración de A inicial del tanque

Del balance diferencial Reordenando Integrando de t 0 hasta t f Balances integrales

Para un sistema cerrado (por lotes) Por lo tanto O bien

Ejemplo #2 El nivel de agua en un deposito municipal ha ido disminuyendo en forma constante durante la sequía y existe la preocupación de que ésta se prolongue otros 60 días. La compañía de aguas de la localidad estima que la velocidad de consumo de la ciudad se acerca a los 10 7 L/día. El Servicio de Conservación Estatal estima que la lluvia y el drenado de ríos hacia el depósito, aunados a la evaporación en éste, deben dar una velocidad de entrada neta de agua de 10 6 exp(- t /100)L/día, donde t es el tiempo en días desde el inicio de la sequía, momento en el cual el depósito contenía cerca de 10 9 litros de agua. 1. Escriba el balance diferencial para el agua del deposito. 2. Integre el balance para calcular el volumen de agua del deposito al finalizar los 60 días de sequía continua.

1. Balance para masa M (kg)

2. Separando variables e integrando de t= 0 a t= 60 días:

BALANCES DE MATERIA: Balances totales de masas Tienen la forma

Ejemplo #3 Un tanque de 12.5 m 3 se llena con agua a razón de m 3 /s. En el momento en que el tanque contiene 1.20 m 3 de agua, se desarrolla una fuga por la parte inferior, la cual empeora con el tiempo. La velocidad de la fuga puede aproximarse como t (m 3 /s), donde t (s) es el tiempo desde el momento en que se inicia la fuga

1. Escriba un balance de masa para el tanque y úselo para obtener una expresión para dV/dt, donde V es el volumen de agua en el tanque en cualquier momento. Promocione una condición inicial para le ecuación diferencial. 2. Resuelva la ecuación de balance para obtener una expresión V ( t ) y dibuje una gráfica de V contra t.

1. Sustituyendo los términos en la ecuación del balance general (acumulación =entradas – salidas) y cancelando ρ

2.

V máx =1.7 m 3 t = 57 s, V= 0 Graficando V contra t :

En consecuencia, al solución real de la ecuación de balance es:

REPASO MATEMÁTICO

Generalmente en los balances para sistemas transitorios se llega a ecuaciones diferenciales de la forma: Entrada y generación de A Salida y consumo de A Se busca C A (t) (1)

Regla 1: Derivada de una constante multiplicada por una función Sea x una variable independiente, y(x) una variable dependiente y a una constante entonces: A V=Ctte, la ecuación (1) se transforma

Regla 2: Regla del producto para la diferenciación A V=f(t), la ecuación (1) se transforma o bien,

Regla 3: Solución de ecuaciones diferenciales separables de primer orden La forma general de una ecuación de primero orden es: por ejemplo, Correcto pero inútil, sin conocer y(t)

Una ecuación separable de primer orden es la que se puede escribir en la forma: Este tipo de ecuaciones se resuelve de la siguiente manera: Separar términos f(x) y f(y) a cada lado de la ecuación Integrar cada lado desde el valor inicial [ x=0, y(0) ] hasta un valor arbitrario

Cada integral incluye una función que sólo tiene la variable de integración, por lo que se puede integrar y obtener una expresión que relacione x y y. integresepare

Considerando la ecuación (1) con V = 1 litro. integresepare

BALANCE DE UNIDADES DE PROCESO ÚNICA BIEN MEZCLADAS

Procedimiento para escribir y resolver una ecuación de balance de materia transitorio: 1. Elimine los términos de la ecuación general de balance que sean iguales a cero. Entradas y salidas (lote) Generación y consumo (balance general) Especies no reactivas 2. Escriba una expresión para la cantidad total de la especie balanceada en el sistema. V (m 3 ) ρ (kg/m 3 ) (masa total) V (m 3 ) C A (mol A /m 3 ) o n total (mol) x A (mol A /mol) (especie A ) Diferencie la expresión con respecto al tiempo para obtener el termino de acumulación en la ecuación de balance.

3. Sustituya las variables del sistema en los términos restantes. Entradas, generación, salidas, consumo (ecuación de balance) *Revisar que tengan las mismas unidades 4. Si y(t) es la variable dependiente que se va a determinar, reescriba la ecuación para obtener una expresión explícita para dy/dt. Suministre alguna condición frontera − el valor de la variable dependiente en un momento específico (generalmente t=0)−. 5. Resuelva la ecuación, de manera analítica si es posible, de lo contrario en forma numérica.

6. Verifique la solución: a) Sustituya t=0 y verifique que se obtenga la condición inicial [ y ( 0 )= y 0 ]. b) Encuentre el valor asintótico para tiempo prolongado de la variable dependiente igualando dy/dt a 0 en la ecuación original de balance y resolviendo la ecuación algebraica resultante para y ss, y verifique que si t→∞ en su solución, y→ y ss. c) Diferencie la solución para obtener una expresión para dy/dt, sustituya para y y dy/dt en la ecuación diferencial original, y verifique que la ecuación se satisfaga. 7. Emplee su solución para generar una gráfica o tabla de y contra t.

Ejemplo #4 Una reacción en fase líquida con estequiometria A → B se lleva a cabo en un reactor continuo de tanque agitado, bien mezclado, de 10.0 litros. A continuación se muestra un esquema del proceso:

Puede considerarse que la mezcla del reactor es perfecta, de modo que el contenido es uniforme y la concentración de A en la corriente de producto es igual a la que está dentro del tanque. Al principio, el tanque se llena con una solución que contiene 2.00 mol A /L y después se inician los flujos de entrada y de salida. 1. Escriba un balance para la especie A en el tanque y provea la condición inicial. 2. Calcule C AS, la concentración en estado estacionario de A en el tanque (cuyo valor se aproxima como t →∞ ). 3. Dibuje la forma esperada de la gráfica de C A contra t. 4. Despeje C A (t) en la ecuación de balance, verifique la solución y dibuje la gráfica real de C A contra t.

1. Los moles totales de A en el reactor en cualquier momento son iguales a (10.0 L)[ C A (mol/L)]=10.0 C A (mol A ). Por lo tanto, Acumulación: Entradas: Salidas: Generación: Consumo:

Sustituyendo los términos en la ecuación de balance de A (acumulación = entradas – salidas – consumo), y dividiendo entre 10.0, se obtiene: 2. En estado estacionario dC A /dt=0, por lo tanto,

Para deducir la gráfica de C A contra t, se conoce: La gráfica se origina en ( t=0, C A = 2.00 mol/L). En t=0, la pendiente de la gráfica es [0.150 – (0.0200)(2.00 mol/s)] = mol/s. Signo + por lo que C A debe crecer con t. Como t crece junto con C A, la pendiente de la curva (0.150 – C A ) es cada vez menos positiva. Por lo tanto, la curva debe ser cóncava hacia abajo. En tiempos prolongados, a gráfica se vuelve asintótica hasta C A =7.50 mol/L. 7.5

4. Ahora podemos resolver el balance diferencial para determinar los valores de C A para valores específicos de t o viceversa. Reconsidere la ecuación,

Verificación Verificación 1: sustituir t=0 en la solución Verificación 2: Sustituir t →∞ en la solución Verificación 3: diferenciar dC A /dt y sustituir junto con C A en la ecuación original 0 1

Graficando, 7.5