Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar

Presentación del tema: "Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar"— Transcripción de la presentación:

1 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar
Formas funcionales para permeabilidad relativa y presión capilar. Aunque las relaciones funcionales entre la presión y la saturación y entre la permeabilidad relativa y la saturación, son funciones no-lineales complicadas, hay pocas formas funcionales estándar que son usadas para definir relaciones funcionales. Para la curva de presión capilar, hay dos funciones que son ampliamente usadas.

2 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar

3 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar
Donde Pc es la presión capilar, pum es la presión umbral Sef, es la saturación efectiva, la cual esta definida como la medida de la saturación normalizada.

4 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar
Para el drenaje primario, con S correspondiendo a la saturación del liquido mojante, se tiene que mientras que para el drenado principal o imbibición principal, El parámetro pum es la presión umbral, y l esta relacionada con la distribución del tamaño de poro. Estos parámetros son típicamente determinados por el ajuste de la ecuación a datos experimentales.

5 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar
Otra forma funcional muy popular para la presión capilar y la saturación es la siguiente: Donde P* y m son parámetros que se obtienen al ajustar los puntos experimentales. La ecuación a menudo se expresa con S como función de Pc, con lo cual se tiene que:

6 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar
Un punto importante que debe de resaltarse es que el ajuste de ambas formas funcionales la histéresis en la curva Pc-S implica que diferentes parámetros se aplicaran a distintas curvas de drenado y imbibición.

7 Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar
La función de permeabilidad relativa es mas difícil de medir en el laboratorio que la relación Pc-S. por tanto las funciones de permeabilidad relativa a menudo son deducidas de las relaciones Pc-S. Donde l es el parámetro de ajuste. En otra aproximación se relaciona la función Pc-S con la función de permeabilidad relativa para la fase mojante, y el resultado es:

8 Para la fase no mojante se tiene que
Formas funcionales para la permeabilidad relativa y presión capilar Para la fase no mojante se tiene que Ahora bien, en términos de aplicabilidad ambas formas funcionales de la permeabilidad se pueden simplificar a formas mas compactas:

9 Ecuaciones para la fase sólida
Aunque casi todos los estudios se enfocan en la fase liquida en un medio poroso, puede resultar útil tener ecuaciones para la fase sólida. Se puede considerar a un sólido como una fase compuesta, aun cuando la composición del sólido sea algo compleja. Considerando la densidad en su sentido usual y considerando que la fracción de el volumen ocupado por el sólido es 1 menos la porosidad, es posible hacer uso de la ecuación estándar del balance de masa para obtener la ecuación de la fase sólida. En esta ecuación el vector de flujo volumétrico para el sólido, se reduce a

10 Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido
aire Nitrogeno, oxigeno… medio petroleo compuestos de distinto pesos molecular contaminante agua solutos No contaminante

11 Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido
Cuando hay mas de un fluido en los poros, cada fluido estará compuesto de múltiples componentes, de esos uno o mas será un contaminante de interés. Por tanto es de interés saber el comportamiento de cada contaminante en el ambiente. A continuación nos enfocaremos en la descripción matemática de los componentes en la fase liquida Así como se han obtenido ecuaciones para fases fluidas completas, así también se pueden obtener ecuaciones gobernantes para componentes individuales inmersos en un fluido. Haremos uso de la concentración de un componente en un fluido usando unidades de masa por mas y unidades de masa por volumen.

12 Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido
Sea a un fluido compuesto por m componentes, se define la fracción de masa para el componente i en el fluido a como: Finalmente, se define al vector de flujo de masa para el componente i en el fluido a por el símbolo

13 Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido
El termino de fuentes/sumideros del lado derecho de la expresión lleva el subíndice i para denotar indicar que el componente i se esta añadiendo o sustrayendo del fluido a debido al intercambio con otros fluidos o con el sólido o debido a reacciones dentro de a. Tal y como en el caso de un solo fluido, el termino de flujo de masa tiene dos componentes, el primero advección y el segundo que se denomina flujo no advectivo. con lo cual tenemos que el vector de flujo de masa se puede expresar como:

14 Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido
El flujo no advectivo puede ser representado por un análogo a la ley de Fick, donde el coeficiente representa tanto difusión como dispersión mecánica, con lo cual la ecuación anterior se puede expresar como: En esta ecuación D es el coeficiente de dispersión efectiva, que es un tensor generalmente de 3X3 y el cual incluye difusión molecular y dispersión mecánica, y puede ser función de la saturación. La ecuación siguiente da una aproximación a la ecuación de balance para el componente i en el fluido a, asumiendo dispersión de Fick

15 Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido
La ecuación anterior se puede combinar con la ecuación de balance para el fluido completo la cual es: En la ecuación para i se desarrollan las derivadas y se obtiene que:

16 De la ecuación anterior se ve que la expresión entre corchetes es
Ecuaciones para componentes inmersos en un fluido De la ecuación anterior se ve que la expresión entre corchetes es Con lo cual la ecuación para i se expresa como:

17 Comparando 11. 25 con 11. 26 tenemos que 11
Comparando con tenemos que tiene una derivada temporal de la masa que se balancea con la divergencia del flujo total, mas una componente de adición o perdida de algún componente del fluido de interés. Esa forma se pierde cuando la ecuación total del fluido se combina con la ecuación del componente, dando como resultado una ecuación que no es obvia en cuanto a acumulación y flujo. La forma se denomina la forma conservativa para la ecuación componente, mientras que a la ecuación se denomina la forma no conservativa de la ecuación.

18 Ecuaciones para componentes inmersos en sólidos
Para completar la representación de ecuaciones de balance de masa, se examina la ecuación para el componente i en la fase sólida (s). Si denota la fracción de masa, y si asumimos que no hay difusión ni dispersión en la fase sólida, entonces la ecuación de balance de masa apropiada es: Asumiendo que la fase sólida es estacionaria con lo que la ecuación se reduce a:

19 El termino de reacciones, transferencia de masa y fuentes y sumideros
Consideraciones del equilibrio del flujo, en el tiempo

20 Ecuaciones de estado Una ecuación de estado, es una tal que relaciona variables extensivas e intensivas, dependiendo del problema, esta puede ser sencilla o muy compleja Aquí Wa, representa al vector de fraccion de masa para todos los componentes del fluido a.