Teoremas de Green y Stokes MONSERRAT GPE COSTILLA AYALA GRUPO A - NC: UNIDAD 1 - TAREA 2 FUNDAMENTOS DE LA MECANICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS.

Indice ● Introducción ● Teorema de Green----(3,9) ● Teorema de Stokes----(9,12) ● Conclusiones ● Bibliografía

Introduccion 3 ●El uso de estos teoremas son funcionales para el entendimiento de los cambios que se generan en las superficies de un campo vectorial, el uso de las integrales que se son necesarias para satisfacer cada uno de los problemas.

1. Teorema de Green Sirve para calcular el flujo de un campo vectorial sobre superficies. Relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.

● El teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región del plano con una integral curvilínea sobre la frontera de la región. ● Sea C una curva descrita por una función vectorial continua α : [a, b] → R n. Si α (a) = α (b) se dice que c es cerrada Si α (t1) 6= α (t2) ∀ t1, t2 ∈ (a, b] se dice que c es cerrada simple 5 EJEMPLOS CURVAS Curva de Jordán: Es una curva cerrada simple en el plano

6 Región simplemente conexa.- Una región D es simplemente conexa si es conexa y el interior de toda curva de Jordán C contenida en D esta también contenida en D. Una curva cerrada C que es la frontera de una región S tiene dos orientaciones, la contraria a las manecillas del reloj (positiva) que se puede denotar C + y la del sentido de las agujas del reloj (negativa), que se puede denotar C. C

Demostración del teorema de Green. 7 ● Tenemos que probar la siguiente igualdad ● A tal fin, observemos que la validez de ( ∗ ) para todos los campos F = (P, Q) de clase C^1 sobre D equivale a la de las dos formulas siguiente: ● también para todos los campos F = (P, Q) de clase C1 en D. En efecto, si estas formulas son validas, obtenemos ( ∗ ) sin más que sumarlas. Recíprocamente, si ( ∗ ) es cierta podemos obtener 11.1 tomando Q = 0 en ( ∗ ), y analogamente 11.2, tomando P = 0 en ( ∗ ).

8 Ejercicios: 1 1

9 Solución: Teniendo en cuenta, se puede aplicar la formula Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por la ecuaciones De modo que Área = ?

Teorema de Stokes Es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial en variedades diferenciables. Se nombra así por George Gabriel Stokes. El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una anti derivada F de f.

EL TEOREMA DE STOKES AFIRMA QUE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE LA COMPONENTE TANGENCIAL DE UN CAMPO VECTORIAL F ALREDEDOR DE LA FRONTERA C DE UNA SUPERFICIE S PUEDE CALCULARSE EVALUANDO LA INTEGRAL DE SUPERFICIE DE LA COMPONENTE NORMAL DEL ROTACIONAL DE F SOBRE S. OTRA FORMA DE LA ECUACIÓN DEL TEOREMA DE STOKES SE OBTIENE AL ESCRIBIR DR EN LUGAR DE T DS EN LA INTEGRAL DE LÍNEA DE LA IZQUIERDA, DE MODO QUE.. =. 11

12 Parametrice la superficie plana cuyo borde es la curva: La curva C es la intersección del cono con el plano Dando así:

Conclusiones Se ha determinado cierta semejanza que comparten los dos teoremas y el procedimiento que conlleva desde encontrar la región de integración de un superficie o el volumen. 13

Bibliografia